[論文レビュー] Note on stochastic control problems related with general fully coupled forward-backward stochastic differential equations

Juan Li|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、拡散係数が制御および後向き成分のZ成分に依存する一般な完全に結合された前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）に従う確率的最適制御問題を研究する。一般化されたハミルトニアン・ジョビ・ベルマン（HJB）枠組みとZ依存性を反映する代数方程式を組み合わせることで、著者らは値関数が関連するHJB方程式の決定的バージョンの粘性解であることを証明し、制御とZ依存性が同時に存在する一般ケースに既存の結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study stochastic optimal control problems of general fully coupled forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs). In Li and Wei [8] the authors studied two cases of diffusion coefficients $σ$ of FSDEs, in one case when $σ$\ depends on the control and does not depend on the second component of the solution $(Y, Z)$ of the BSDE, and in the other case $σ$ depends on $Z$ and doesn't depend on the control. Here we study the general case when $σ$ depends on both $Z$ and the control at the same time. The recursive cost functionals are defined by controlled general fully coupled FBSDEs, then the value functions are given by taking the essential supremum of the cost functionals over all admissible controls. We give the formulation of related generalized Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations, and prove the value function is its viscosity solution.

研究の動機と目的

• 前向きSDEの拡散係数が制御および後向き成分のZ成分に依存する完全に結合されたFBSDEに対する確率的制御理論におけるギャップを埋めること。
• このような結合的依存性が存在する状況下での対応する一般化されたハミルトニアン・ジョビ・ベルマン（HJB）方程式を定式化すること。
• 適切な正則性および単調性条件の下で、値関数が導出されたHJB方程式の粘性解であることを証明すること。
• LiとWei（2012）の先行研究を一般化すること、彼らの研究ではσが制御またはZのいずれかにのみ依存していたが、本稿では両者に依存する一般ケースを扱う。
• 時間に関する値関数の連続性および動的プログラミング原理を、完全に結合されたFBSDEに対する先行の推定に基づいて確立すること。

提案手法

• 前向き（X）、後向き（Y,Z）過程および制御（u）を含む一般な完全に結合されたFBSDE系に基づく確率的制御問題を定式化し、係数がX, Y, Z, uに依存することを明示する。
• コスト関数を後向き過程の初期値Y_t^{t,x;u}として定義し、値関数をすべての適切な制御における本質的上界として定義する。
• 値関数Wと関連する代数的変数V(t,x,u) = DW·σを反映するPDEと代数方程式を結合した一般化されたHJB方程式を導出する。このVはσのZ依存性を反映する。
• PengのBSDE法および確率的後向き半群技術を用いて値関数を分析し、動的プログラミング原理を検証する。
• 代数的制約を伴うPDEの粘性解理論を適用し、σおよび係数に関する技術的仮定を課して、代数方程式の解の存在および一意性を保証する。
• 固定点法および継続法を用いて、代数方程式の解の存在および一意性を証明し、LiとWei（2012）の先行結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 前向きSDEの拡散係数σが制御および後向きSDE解のZ成分の両方に依存する場合、値関数はどのように振る舞うか？
• RQ2 この一般な結合的状況下で、正しい形の一般化されたハミルトニアン・ジョビ・ベルマン（HJB）方程式は何か？ そして、従来の定式化とはどのように異なるか？
• RQ3 σがuおよびZの両方に同時に依存する場合でも、値関数がHJB方程式の粘性解として示されるか？
• RQ4 σのZ依存性に起因するHJB定式化における代数方程式の解の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ5 これらの一般化された仮定の下で、動的プログラミング原理および値関数の連続性はどのように確立されるか？

主な発見

• 与えられた仮定の下で、値関数W(t,x)は決定的である。これは単純なケースから拡張された重要な性質である。
• LiとWei（2012）で用いられた同じ枠組みにより、値関数W(t,x)は時間tに関して連続であることが示された。
• 値関数W(t,x)は、PDEとV(t,x,u)に関する代数方程式を結合する一般化されたHJB方程式（3.2）の粘性解である。
• 代数方程式V(t,x,u) = DW·σの解は一意であり、すべての変数に関して一様に有界なLipschitz連続な表現h(s, x, y, ζ, u)を有する。
• HJB方程式は、ドリフト項、拡散項、生成子項に加え、σσ^T D²Wのトレースを介した2階項を含む制御に関するsupremumを含む形で定式化される。
• 証明は、LiとWei（2012）が用いた継続法および固定点法を、σがuおよびZの両方に依存する一般ケースに拡張することで成り立つ。