[論文レビュー] Note on the complexity of deciding the rainbow connectedness for bipartite graphs

Shasha Li, Xueliang Li|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 4被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、二部グラフのレインボーコネクティビティ数が2であるかどうかを判定することが多項式時間で解けることを確立している。これは一般の場合のNP完全性と対照的である。さらに、色数が無制限であっても、辺に色が塗られた二部グラフにおけるレインボーコネクティビティを決定することは、一般の場合から二部グラフへ多項式時間還元することにより、NP完全であることが示されている。

ABSTRACT

A path in an edge-colored graph is said to be a rainbow path if no two edges on the path have the same color. An edge-colored graph is (strongly) rainbow connected if there exists a rainbow (geodesic) path between every pair of vertices. The (strong) rainbow connection number of $G$, denoted by ($scr(G)$, respectively) $rc(G)$, is the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ (strongly) rainbow connected. Though for a general graph $G$ it is NP-Complete to decide whether $rc(G)=2$, in this paper, we show that the problem becomes easy when $G$ is a bipartite graph. Moreover, it is known that deciding whether a given edge-colored (with an unbound number of colors) graph is rainbow connected is NP-Complete. We will prove that it is still NP-Complete even when the edge-colored graph is bipartite. We also show that a few NP-hard problems on rainbow connection are indeed NP-Complete.

研究の動機と目的

• 二部グラフのレインボーコネクティビティ数が正確に2であるかどうかを決定する問題の複雑性を解明すること。
• 一般グラフにおけるレインボーコネクティビティのNP完全性が、二部グラフに対しても拡張されるかどうかを調査すること。
• 固定された k ≥ 2 に対して、いくつかのレインボーコネクティビティ問題がNP完全であることを示すことで、既存のNP困難性結果を強化すること。
• 構造的グラフクラスにおけるレインボーコネクティビティの決定可能性と非決定可能性の境界を明確にすること。

提案手法

• 二部グラフにおいて、rc(G) = 2 であることは、G が t ≤ 2^s を満たす完全二部グラフ K_{s,t} であることに同値であることを証明し、これにより多項式時間の決定アルゴリズムが可能になる。
• 任意の辺に色が塗られたグラフ G を、各辺を新規頂点で分割し、二つの新規辺に異なる新しい色を割り当てる方法で、二部グラフ G' へ多項式時間還元する。
• G がレインボーコネクティビティを持つことと、拡張された彩色のもとで構築された G' がレインボーコネクティビティを持つことが同値であることを示す。
• 固定された k に対して、すべての頂点間の長さが k 以下のパスをチェックすることにより、レインボーカラー k 色分けが多項式時間で検証可能であるという事実を利用する。
• 特に、Lemma 2.5 における完全二部グラフ K_{s,t} における rc(K_{s,t}) = min{⌈√[s]t⌉, 4} といった既知の結果を応用し、決定条件を導出する。
• rc(G) ≤ k および src(G) ≤ k の問題が、固定された k ≥ 2 に対してNP完全であることを示す。これは、問題がNPに属することを示し、既知のNP完全問題への還元を構築することで達成される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般グラフに対してはNP完全であるが、二部グラフ G に対して rc(G) = 2 かどうかを決定することはPに属するか？
• RQ2 辺に色が塗られたグラフにおけるレインボーコネクティビティのNP完全性は、二部グラフに制限しても維持されるか？
• RQ3 rc(G) ≤ k や src(G) ≤ k のような問題は、固定された k ≥ 2 に対しても、G が二部グラフであってもNP完全であるか？
• RQ4 二部グラフのレインボーコネクティビティ数は、効率的に計算可能か？ どのような構造的条件下で？
• RQ5 二部グラフの構造とそのレインボーコネクティビティ数の関係は何か？

主な発見

• 二部グラフ G に対して rc(G) = 2 かどうかを決定することは、多項式時間で解ける。これは、G が t ≤ 2^s を満たす完全二部グラフ K_{s,t} であることに同値である。
• 任意の辺に色が塗られた二部グラフがレインボーコネクティビティを持つかどうかを決定する問題は、色数が無制限であってもNP完全である。
• 任意の固定された k ≥ 2 に対して、rc(G) ≤ k を決定することはNP完全である。これは、既存のNP困難性結果をNP完全性へ強化したものである。
• 同様に、src(G) ≤ k を決定することは、任意の固定された k ≥ 2 に対してNP完全である。これは G が二部グラフであっても同様に成り立つ。
• 一般グラフから二部グラフへの還元は、レインボーコネクティビティを保存する。これにより、二部グラフにおける問題のNP完全性が証明される。
• 完全二部グラフ K_{s,t} のレインボーコネクティビティ数は min{⌈√[s]t⌉, 4} に等しく、このクラスに対する明確な特徴付けが得られる。