[論文レビュー] Note on the Deodhar decomposition of a double Schubert cell

Olivier Dudas|ArXiv.org|Jul 14, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、再帰的代数群の型Bₙにおける二重シューベルト胞のデオドール分解が一般には層化ではないことを示している。具体的には、胞の閉包が次元がより高い胞と交差する可能性があるためである。2n次元の胞が3n−3次元の胞と交差する反例を提示することで、著者はデオドール胞の閉包が常により小さい胞の和集合であるとは限らないことを示し、以前の類似の分解に関する研究の期待とは矛盾する。

ABSTRACT

We show that for an algebraic reductive group $G$, the partition of a double Schubert cell in the flag variety $G/B$ defined by Deodhar, and coming from a Bialynicki-Birula decomposition, is not a stratification in general. We give a counterexample for a group of type B$_n$, where the closure of some specific cell of dimension $2n$ has a non-trivial intersection with a cell of dimension $3n-3$

研究の動機と目的

• 関連する幾何学的・組合せ論的結果から予想されるように、デオドールの二重シューベルト胞の分解が層化をなすかどうかを調査すること。
• デオドール胞の閉包が、ブルハートに類似た関係で順序付けられたより小さい胞の和集合であるという予想を検証すること。
• 次元が厳密に高い胞と交差する型Bₙにおける明確な反例を提供すること。
• コクセター元の既知のケースを超えて、デオドール胞の幾何的複雑性を明確にすること。

提案手法

• ウェイル群の要素の固定された簡約表現を用いて、ボット＝サマエル多様体上のビアリニツキ＝ビルール分解を通じてデオドール分解を構成すること。
• 簡約語の区別された部分表現によってパrameter化される滑らかで局所的閉じた部分多様体としてデオドール胞を定義すること。
• トーラスTの作用を解像空間に持ち上げるために、ボット＝サマエル解像π: BS → X_wを用いることで、ビアリニツキ＝ビルール理論の適用を可能にすること。
• 相反的ボール部分群の未決定部分群U*における標準的表現を分析することで、デオドール胞の閉包を調べること。
• ルート系の計算と1パラメータ部分群の作用を用いて、異なる部分表現におけるkとk×の変数の台を比較すること。
• t→∞における極限過程を用いて胞の閉包を評価し、他の胞との構造を比較すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重シューベルト胞内のデオドール胞の閉包は、常により小さいデオドール胞の和集合をなすか？
• RQ2 包含関係の閉包を反映する自然な順序が、ブルハート順序に類似たデオドール胞に存在するか？
• RQ3 デオドール胞の閉包が、次元が厳密に高い胞と交差することはあり得るか？
• RQ4 コクセター元の既知のケースを超えて、閉包性質の失敗が成立するか？
• RQ5 特に型Bₙにおいて、デオドール分解は一般に層化であるか？

主な発見

• 型Bₙの二重シューベルト胞において、次元2nのデオドール胞の閉包が、次元3n−3の胞と交差しており、期待される層化性質に反する。
• n≥3の型Bₙにおけるw₀に対して、τ ≼ σでさえもD_σがD_τの閉包に含まれないような部分表現σとτが存在する。
• D_σは(B* ∩ ^{t₁}B*)t₂·Bという余次元1の部分多様体に含まれるが、−β₁に付随するk×-変数の存在により、D_τはこの部分多様体と交差しない。
• t→∞における極限過程により、胞の閉包が同じ軌道型に属さない要素を含むことが確認され、層化ではないことが裏付けられた。
• 任意のn≥3に対して、部分表現ηを連結することで、高次元における交差性質が保存されるように反例を一般化できる。
• この結果は、デオドール胞の閉包が単純な順序やより小さい胞の和集合によって記述できないことを示し、一般の閉包公式はまだ知られていない。