[論文レビュー] Note on the Signatures of Rough Paths in a Banach Space

Horatio Boedihardjo, Xi Geng+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限次元バナッハ空間における弱幾何的粗いパスのシグネチャに関する基礎的結果を確立し、古典的粗いパス理論の範囲を超えて、特にシグネチャの連続性および代数的構造の有限次元での性質を拡張する。本稿は、$p$-バリアントの下での連続性や代数的恒等式といった、シグネチャの主要な性質が無限次元でも成り立つことを証明し、[1]の結果を一般のバナッハ空間値粗いパスへ拡張可能であることを可能にする。

ABSTRACT

We prove some results, which are used in arXiv:1406.7871, about weakly geometric rough paths that are well-known in finite dimensions, but need proof in the infinite dimensional setting.

研究の動機と目的

• 弱幾何的粗いパスのシグネチャに関する既知の有限次元の結果を、バナッハ空間の無限次元設定へ拡張すること。
• 標準的な $p$-幾何的近似による議論が無限次元では失敗する理論的ギャップを埋めること。
• $p$-バリアント位相の下で、シグネチャ写像が連続であり、代数的にも良好に振る舞うことを証明すること。
• 無限次元確率解析および関連分野における粗いパス理論の応用のための厳密な基盤を提供すること。

提案手法

• バナッハ空間 $V$ に対する切断テンソル代数 $\tilde{T}^{(n)}(V)$ 値のパスに $p$-バリアント位相を用いる。
• 粗いパスのシグネチャをテンソル代数 $\tilde{T}((V))$ 内の反復積分の無限級として定義する。
• [2] の補題の修正版を用いて、代数的恒等式を有限次元から無限次元へ拡張する。
• $p$-バリアントの下でシグネチャ写像の連続性を確立し、$p' > p$ の $p'$-バリアントノルムを用いて差を評価する。
• 各テンソル次数におけるシグネチャの成分を解析するために、射影写像 $\pi^{(n)}$ および $\pi_n$ を用いる。
• バナッハ空間における弱幾何的粗いパスのシグネチャが、有限次元の場合と同一の代数的および連続性の性質を満たすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元から無限次元バナッハ空間へ、$p$-バリアント位相の下でのシグネチャ写像の連続性が拡張可能か？
• RQ2 有限次元で知られていたシグネチャに関する代数的恒等式が、無限次元バナッハ空間における弱幾何的粗いパスに対しても成り立つか？
• RQ3 無限次元において、弱幾何的粗いパスを $p$-幾何的粗いパスで近似する際に、位相的障害が生じるか？
• RQ4 バナッハ空間における粗いパスのシグネチャが、有限次元の場合と同一の構造的性質を保つために必要な条件は何か？

主な発見

• 弱幾何的粗いパスの $p$-バリアント位相の下で、シグネチャ写像は連続である。
• 従来は有限次元でのみ知られていた、シグネチャに関連する代数的恒等式が、新規の近似法を用いて無限次元設定へ拡張可能である。
• バナッハ空間における弱幾何的粗いパスの空間は、テンソル代数におけるリー多項式の指数関数の閉包に含まれる明確なシグネチャを持つ。
• $p$-バリアント位相により、パスのシグネチャは切断されたパスのシグネチャにより近似可能であり、収束が保たれる。
• 証明は、$p$-バリアントと逆元の一様収束を用いて、差の $p'$-バリアントを評価することに依存する。
• ある順序および距離的条件を満たす半順序集合は、高さ関数 $\alpha$ により定義される距離を用いて、$\mathbb{R}$-ツリーとして実現可能であり、これが主な位相的議論を支える。