[論文レビュー] Note on the spectrum of discrete Schrödinger operators

Fumio Hiroshima, Itaru Sasaki+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、d次元格子 Z^d 上の1点デルタポテンシャルを有する離散シュレーディンガー作用素のスペクトル性質を分析する。フーリエ変換およびランク1摂動理論を用いて、特異連続スペクトルの不在を証明し、埋め込まれた固有値が d ≥ 5 のときのみ存在することを示し、高次元における離散固有値の存在・不在を分かつ臨界結合強度 v_c が存在することを明らかにする。

ABSTRACT

The spectrum of discrete Schrödinger operator $L+V$ on the $d$-dimensional lattice is considered, where $L$ denotes the discrete Laplacian and $V$ a delta function with mass at a single point. Eigenvalues of $L+V$ are specified and the absence of singular continuous spectrum is proven. In particular it is shown that an embedded eigenvalue does appear for $d\geq5$ but does not for $1\leq d\leq 4$.

研究の動機と目的

• Z^d 上の1点デルタポテンシャルを有する離散シュレーディンガー作用素のスペクトル分解（特に、本質的スペクトル内に埋め込まれた固有値の有無）を特定すること。
• 次元 d が離散固有値の存在およびスペクトル構造に与える影響を分析すること。
• 作用素のスペクトル分解における特異連続スペクトルの不在を証明すること。
• d ≥ 5 の次元において、離散固有値の存在・不在を分かつ臨界結合強度 v_c を特徴付けること。

提案手法

• フーリエ変換を用いて、離散シュレーディンガー作用素 L + V を d 次元トーラス T^d 上の乗法作用素 g + v(φ, ψ)φ に変換する。
• 作用素を g(θ) = (1/d) ∑_{j=1}^d cos θ_j として与えられる離散ラプラシアンのランク1摂動として表現する。
• リゾルベント方程式およびスペクトル測度解析を用いて、条件 ∫_{T^d} (E - g(θ))^{-1} dθ = v^{-1} (2π)^d を通じて固有値を特徴付ける。
• 散乱理論およびスペクトル測度分解の結果を適用し、特異連続スペクトルが空であることを示す。
• リゾルベントの虚部およびスペクトル測度の台の振る舞いを分析し、R \ (X ∪ Y) が可算であることを証明することで、σ_sc(H) = ∅ を示す。
• 積分 ∫_{T^d} (E - g(θ))^{-1} dθ の漸近的解析を用いて、次元 d および結合強度 v に応じた固有値の存在を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1点デルタポテンシャルを有する離散シュレーディンガー作用素が、本質的スペクトル内に埋め込まれた固有値を有するのはどの次元 d か？
• RQ2 d ≥ 5 の次元において、離散固有値の存在・不在を分かつ臨界結合強度 v_c は何か？
• RQ3 このような作用素のスペクトル分解に特異連続スペクトルが現れるか。もし現れないのなら、その理由は何か？
• RQ4 次元 d が、特に本質的スペクトル [-1,1] に関連して、固有値の存在および位置にどのように影響するか？
• RQ5 スペクトル測度分解を用いて、自己共役作用素のランク1摂動における特異連続スペクトルの不在を証明できるか？

主な発見

• すべての d ≥ 1 および v ≥ 0 に対して、H = L + V の絶対連続スペクトルおよび本質的スペクトルは σ_ac(H) = σ_ess(H) = [-1, 1] である。
• 特異連続スペクトルは存在しない：すべての d ≥ 1 および v ≥ 0 に対して σ_sc(H) = ∅ であり、スペクトル測度の台の解析および R \ (X ∪ Y) の可算性によって証明される。
• d = 1,2 の場合、すべての v > 0 に対して、唯一の離散固有値 E = √(1 + v²) が存在し、1より上にある。
• d = 3,4 の場合、v > v_c のときのみ離散固有値が存在し、v ≤ v_c のときは固有値が存在しない。
• d ≥ 5 の場合、v ≥ v_c のとき固有値が存在する：v = v_c のとき E = 1 が固有値であり、v > v_c のときは E > 1、v < v_c のときは固有値が存在しない。
• すべての固有値は単純であり、リゾルベント条件から得られる L^2(T^d) 内の固有関数 (E - g)^{-1} に対応する。