[論文レビュー] Note on the tensor product of dendroidal sets

Denis-Charles Cisinski, Ieke Moerdijk|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、少なくとも一方の因子がオープンなドンドロイダル集合であるとき、テンソル積が正規モノモルフィズムを保存することを示している。これは、木におけるシャッフルと高さ関数の組み合わせ的解析を用いる。主な結果として、ドンドロイダル集合上の操作的モデル構造がジョイアルモデル構造を備えた単体的集合の上に豊かにされていることが確認され、そのオープンなドンドロイダル集合への制限は対称モノイド的である。これは、高次代数的構造および操作的ホモトピー論における基礎的問題を解決する。

ABSTRACT

In our paper "Dendroidal sets as models for homotopy operads" (J. Topol. 4 (2011), no. 2, 257-299, and arXiv:0902.1954), we made the wrong claim about the behaviour of the tensor product with respect to cofibrations of dendroidal sets. We added an erratum at the end of the arXiv version of loc. cit. This short note contains the proof of a technical lemma used in the erratum.

研究の動機と目的

• ドンドロイダル集合上の操作的モデル構造における基礎的問題を解決するため、テンソル積が正規モノモルフィズムを保存することを証明すること。
• 操作的モデル構造がジョイアルモデル構造を備えた単体的集合の上に豊かであることを確立すること。
• 操作的モデル構造をオープンなドンドロイダル集合に制限した場合、それが対称モノイド的であることを示すこと。
• ドンドロイダル集合に関する先行研究で用いられた重要な技術的補題の修正され詳細な証明を提供すること。

提案手法

• モノモルフィズムが $[n] \otimes T$ に埋め込まれるとき、その双対対応が、$T$ の面 $u: S \to T$ と $S$ 上の単調な高さ関数 $h$ のペア $(u: S \to T, h)$ に存在することを用いる。
• ドンドリクス $[n] \otimes T$ 内に、単体的集合 $[n]$ と木 $T$ のシャッフルとして表現され、エッジに $\{0, \dots, n\}$ の値を割り当てる高さ関数を伴う。
• シャッフル補題を適用してシャッフルの面を解析し、面の交わりが対応する木と高さ関数の交わりに対応することを示す。
• オープンな木とオープンなドンドロイダル集合（オープンな木の列点）の概念を用い、帰納法により結果を拡張する。
• エッジまたは頂点（ルートおよびトップ頂点を含む）が取り除かれる場合を場合分けし、バルドでない頂点とバルドである頂点を区別する。
• シャッフルにおいて特定の色（ラベル）が存在しないことに基づき、$S \otimes T$ 内の面の交わりが因子内の交わりに対応することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一方の因子がオープンであるとき、ドンドロイダル集合のテンソル積が正規モノモルフィズムを保存するか？
• RQ2 モノモルフィズム $[n] \otimes T$ は、$[n]$ と $T$ の面にどのように分解されるか？
• RQ3 $[n] \otimes T$ 内のシャッフルの組み合わせ的構造は、モノモルフィズムを特徴づけるか？
• RQ4 どのような条件下で $S \otimes \partial_y T \cap S \otimes \partial_z T = S \otimes (\partial_y T \cap \partial_z T)$ が成り立つか？
• RQ5 ドンドロイダル集合上の操作的モデル構造が、オープンなドンドロイダル集合に制限された場合、対称モノイド的であることを示せるか？

主な発見

• すべての $n \geq 0$ および $T \in \Omega$ に対して、写像 $ (\partial\Delta[n] \otimes \Omega[T]) \cup (\Delta[n] \otimes \partial\Omega[T]) \to \Delta[n] \otimes \Omega[T] $ は正規モノモルフィズムである。これは高さ関数の対応により確立された。
• モノモルフィズム $[n] \otimes T$ への埋め込みは、$T$ の面 $u: S \to T$ と $S$ 上の単調な高さ関数 $h$ のペア $(u: S \to T, h)$ と双対対応する。
• $\partial_i[n] \otimes T \cap \partial_j[n] \otimes T = (\partial_i[n] \cap \partial_j[n]) \otimes T$ が成り立ち、同様の恒等式は $[n] \otimes \partial_x T$ および混合交わりに対しても成り立つ。
• オープンな木 $S$ および $T$ に対して、包含写像 $S \otimes \partial T \cup_{\partial S \otimes \partial T} \partial S \otimes T \to S \otimes T$ はモノモルフィズムであるため、正規モノモルフィズムである。
• オープンなドンドロイダル集合間の正規モノモルフィズムのテンソル積は、再び正規モノモルフィズムである。これは、オープンなドンドロイダル集合の圏における対称モノイド的構造を確認する。
• 非オープンな木に対してシャッフル補題が成り立たないことは、バルドな頂点と非バルドな頂点をもつ非オープンな木を用いた反例によって示された。