[論文レビュー] Notes about extended real- and set-valued functions

Andreas H. Hamel, Carola Schrage|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2010

Advanced Algebra and Logic参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、残留モノイドと共線形空間を用いて、拡張実数値および集合値関数の統一的代数的・順序論的枠組みを構築し、方向微分、劣微分、およびLegendre–Fenchel共役の一貫的定義を可能にする。特に、不適切関数に対しても成立する。主たる貢献は、補助的実変数を含む新たな共役定義を通じて、不適切要素を含む形で共役およびインフィミナル畳み込みを拡張する対称的かつ完全な双対性理論の確立である。

ABSTRACT

An order theoretic and algebraic framework for the extended real numbers is established which includes extensions of the usual difference to expressions involving $-\infty$ and/or $+\infty$, so-called residuations. Based on this, definitions and results for directional derivatives, subdifferentials and Legendre--Fenchel conjugates for extended real-valued functions are given which admit to include the proper as well as the improper case. For set-valued functions, scalar representation theorems and a new conjugation theory are established. The common denominator is that the appropriate image spaces for set-valued functions share fundamental structures with the extended real numbers: They are order complete, residuated monoids with a multiplication by non-negative real numbers.

研究の動機と目的

• 拡張実数値関数の取り扱いにおける一貫性の欠如、特に $+\infty - \infty$ のような表現を解消するため、厳密な代数的基盤を確立すること。
• 対称的代数的構造を用いて、不適切な凸および凹関数に対しても方向微分、劣微分、Fenchel共役を一貫的に拡張すること。
• 画像空間を順序完備で残留的な共線形空間としてモデル化することにより、集合値関数に対する新しい共役理論を構築すること。
• 補助的実変数を共役定義に取り入れることで、スカラーと集合値関数の共役双対性を統一し、不適切関数に対しても一貫性を保証すること。
• 新しい枠組みのもとで、イントラミナル畳み込みの共役が、その共役のスーパーマル畳み込みに等しいことを示すこと。

提案手法

• $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty\} \cup \{+\infty\}$ 上に順序完備で残留的なモノイド構造を導入し、$+\infty - (-\infty)$ のような表現に対応する代数的演算（残留を含む）を定義する。
• 凸関数と凹関数を対称的にモデル化するため、$\overline{\mathbb{R}}$ の代数的に異なる2つのコピーを導入し、$-1$ による乗算が双対性を誘発することを定義する。
• 補助的実変数を含む修正されたLegendre–Fenchel共役を提案し、共役を線形関数だけでなくアフィン関数に対しても定義可能にする。
• 集合値関数に適用するため、画像空間を順序完備かつ残留的である共線形空間としてモデル化し、スカラー表現定理を可能にする。
• 拡張された共役を用いて新しい形のイントラミナル畳み込みを定義し、その共役が共役のスーパーマル畳み込みに等しいことを証明する。
• 閉凸包を共役を用いて定義する：$g^{**} = \text{cl co } g$ for $g: X \to Q^{\triangle}$ であり、$g$ が閉かつ凸であれば $g^{**} = g$ が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分解析において $+\infty - \infty$ の代数的不整合性は、整合的な算術枠組みを用いてどのように解消できるか？
• RQ2 対称的代数的構造を用いて、不適切な凸および凹関数に対する方向微分と劣微分を一貫して定義可能か？
• RQ3 不適切関数に対するFenchel共役の正しい一般化は何か？ そして、その一般化は双対性をどのように保つのか？
• RQ4 集合値関数に、スカラー共役性を模倣する共役理論をどのように与えることができるか？ その背後にある代数的構造は何か？
• RQ5 新しい枠組みのもとで、2つの関数のイントラミナル畳み込みの共役は、その共役のスーパーマル畳み込みに等しいか？

主な発見

• 本稿は、$\overline{\mathbb{R}}$ の代数的に異なる2つのコピーを導入することで、拡張実数値関数に対する完全で対称的な双対性理論を確立し、不適切関数の取り扱いを一貫可能にする。
• 補助的実変数を含む修正されたLegendre–Fenchel共役は、$g$ が閉かつ凸であっても $g^{**} = g$ が成り立つことを保証する。
• イントラミナル畳み込み $f \square g$ の共役が、$f^*$ と $g^*$ のスーパーマル畳み込みに等しいことが示され、標準的定義では不適切要素を含まない限りこの結果は成立しない。
• 集合値関数に関して、画像空間 $Q^{\triangle}$ は順序完備かつ残留的な共線形空間としてモデル化され、スカラー表現定理と新しい共役理論を可能にする。
• 集合値関数の閉凸包は $g^{**} = \text{cl co } g$ を満たし、$g$ が閉かつ凸であれば $g^{**} = g$ が成り立つ。これはスカラーの場合の一般化である。
• 本フレームワークは、文献に長年の曖昧さが存在する問題を解消し、$(f \square g)^* = f^* + g^*$ といった記述が、左辺と右辺で異なる加法を必要とすることを明確に示している。