[論文レビュー] Notes on 2D Conformal Field Theory and String Theory

Dennis Gaitsgory|ArXiv.org|Nov 9, 1998

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 7被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、ベイリソンとドリンフェルドが開発した形式的枠組みであるチャーラル代数を用いて、2次元共形場理論（CFT）の厳密な数学的枠組みを提供する。これにより、量子場の作用素積展開（OPE）を公理化する。また、チャーラル代数の共形ブロックの空間が、滑らかな曲線の空間のモジュライ空間上に射影接続を備えることを確立し、ヒーゼンベルクおよび$bc$-系などの自由場理論における明示的計算を通じてこれを示している。応用として、BRST還元と幾何学的量子化が含まれる。

ABSTRACT

We explain the basics of conformal theory using the language of chiral algebras of Beilinson and Drinfeld.

研究の動機と目的

• 2次元共形場理論における作用素積展開（OPE）を、チャーラル代数を用いて数学的に厳密に形式化すること。
• 滑らかな曲線のモジュライ空間上において、チャーラル代数の共形ブロックの空間が射影接続を備えることの確立。
• スガワラ、ボソン-フェルミオン双対性、BRST還元といった既知の物理的構成を、代数的幾何学およびD-加群の言語に再解釈すること。
• 幾何学的量子化の文脈において、線分束のモジュライ空間上でのゲージ的変換に類する変換の下で、相関関数が不変であることを示すこと。

提案手法

• 論文は、代数的曲線上のD-加群として定義される、Lie-*括弧積を備えたチャーラル代数を、中心的な対象として用いる。
• Kac-Moody型およびヒーゼンベルク型の文脈において、Lie-*代数からチャーラル代数を構成するためのチャーラル普遍包あらたな構成を用いる。
• 共形ブロックの空間は、コインヴァリエント空間の双対として定義され、可能な相関関数の空間として解釈される。
• 局所性を保証するため、普遍曲線上の局所${\mathcal{O}}$-加群を含むように理論を拡張し、計量の変形下での場の局所性とOPEの局所性を保証する。
• BRST還元は、Lie-*代数の中心拡大と、チャーラル代数のテンソル積上の微分作用素を用いて実装され、チャーラル代数のコホモロジー的還元を可能にする。
• 幾何学的量子化は、共形ブロック上の関数が$H^0(X\setminus\{x_1,\dotsc,x_n\}, \mathfrak{h} \otimes \mathcal{O})$の作用に関して不変であることを示すことによって適用され、対称積を介して、モジュライ空間上のラインバンドルへ因数分解する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元CFTにおける量子場の作用素積展開（OPE）を、代数的幾何学の言語を用いてどのように厳密に形式化できるか？
• RQ2 共形ブロックの空間の幾何的意味は、曲線のモジュライ空間上の接続としてどのように解釈できるか？
• RQ3 BRST還元を、チャーラル代数およびD-加群の言語で体系的にどのように形式化できるか？
• RQ4 幾何学的量子化の文脈において、相関関数が無限小ゲージ変換の下で不変であるとは、どのような意味か？
• RQ5 ヒーゼンベルク系や$bc$-系などの自由場に付随するチャーラル代数の構成は、スガワラのエネルギー運動量テンソルの構成とどのように一致するか？

主な発見

• チャーラル代数の共形ブロックの空間は、滑らかな曲線のモジュライ空間上に射影接続を備え、量子場理論における平坦接続の概念を一般化する。
• チャーラル代数に付随する共形ブロック上の関数は、$H^0(X\setminus\{x_1,\dotsc,x_n\}, \mathfrak{h} \otimes \mathcal{O})$の作用に関して不変であり、これは無限小ゲージ変換に対応する。
• 明示的計算により、ヒーゼンベルク系および$bc$-系におけるエネルギー運動量テンソルが、スガワラ構成によって得られ、既知の物理的結果と整合することが示された。
• BRST複体は、Lie-*代数の中心拡大と、チャーラル代数のテンソル積上の微分作用素を用いて構成され、コホモロジー的還元を可能にする。
• 相関関数は、曲線の対称積を介して因数分解され、全ラインバンドル$({\mathcal{R}}_Q(X))^{-1}$への写像は、置換対称性に関して不変である。
• 共形ブロック上の関数$\chi$が、群$S^m \times \cdots \times S^m$の作用に関して不変であることが示され、相関関数の挿入における対称性が確認された。