[論文レビュー] Notes on affine canonical and monomial bases

Yiqiang Li|ArXiv.org|Oct 14, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ルシュティグのアフィン標準基底とアフィンクーヴィー表現理論を用いて構成された単項式基底の間の移行行列が、対角成分が1で、上三角行列であり、非負の整数係数のローレンス多項式を係数に持つことを確立している。さらに、特定の単項式基底要素が、単純な perverse sheaf として見たときの標準基底要素の台多様体の特異点を解消することを示している。

ABSTRACT

We investigate the affine canonical basis and the monomial basis constructed in [LXZ] in Lusztig's geometric setting. We show that the transition matrix between the two bases is upper triangular with 1's in the diagonal and coefficients in the upper diagonal entries in N[v, v^{-1}]. As a consequence, we show that part of the monomial basis elements give rise to resolutions of support varieties of the affine canonical basis elements as simple perverse sheaves.

研究の動機と目的

• 単純な perverse sheaf を用いたルシュティグの幾何的枠組みにおいて、[LXZ] における単項式基底を理解すること。
• 幾何的設定において、単項式基底とルシュティグのアフィン標準基底との関係を確立すること。
• 二つの基底間の移行行列が、対角成分が1で、係数が $\mathbb{Z}_{\geq 0}[v,v^{-1}]$ に属する上三角行列であることを証明すること。
• 特定の単項式基底要素が、単純な perverse sheaf として見たときのアフィン標準基底要素の台多様体の特異点を解消することを示すこと。

提案手法

• アフィンクーヴィー表現の性質を用いて、[L3] のルシュティグの議論をアフィンクーヴィー設定に適応する。
• 上三角行列の証明を簡略化するため、[Re] に由来する重要な補題を用いる。
• [LXZ] のクーヴィー表現理論における PBW 型生成子の再順序によって単項式基底 $\mathcal{F}$ を構成する。
• 幾何的実現を用いて、$\mathcal{F}$ を [LXZ] で定義された単項式基底 $\{\mathbf{m}_{\mathbf{c}} \mid \mathbf{c} \in \mathcal{M}\}$ と特定する。
• 各 $\mathbf{a} \in \Delta$ に対して、写像 $\pi_{\mathbf{s}(\mathbf{a})}: \tilde{\mathcal{F}}_{\mathbf{s}(\mathbf{a})} \to \mathrm{E}_V$ を用いて特異点の解消を定義する。
• 稠密な開ストラトム上で $\pi_{\mathbf{s}(\mathbf{a})}$ が固有かつ同型であるという性質を用いて、$\overline{X}(\mathbf{a},\boldsymbol{\lambda})$ が解体可能であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単項式基底 $\mathcal{F}$ は、幾何的にルシュティグのアフィン標準基底とどのように関係しているか？
• RQ2 幾何的設定において、単項式基底と標準基底との間の移行行列の構造は何か？
• RQ3 特定の単項式基底要素は、標準基底要素の台多様体の特異点を解消できるか？
• RQ4 二つの基底間の移行行列の上三角性は、幾何的実現において成り立つか？また、係数の制約は何か？
• RQ5 標準基底要素の台多様体の特異点の解消は、アフィンクーヴィー多様体上の幾何的構成によって実現可能か？

主な発見

• 単項式基底 $\mathcal{F}$ とアフィン標準基底 $\mathbf{B}$ 間の移行行列は、対角成分が1で、対角成分の上側に $\mathbb{Z}_{\geq 0}[v,v^{-1}]$ に属する係数を持つ上三角行列である。
• これは、標準基底 $\mathbf{B}$ とバーダイナリィンバリアント基底 $\mathcal{E}_{\mathbf{M}}$ 間の移行行列が、係数が $\mathbb{Q}[v,v^{-1}]$ に属し、対角成分が1の上三角行列であることを示唆する。
• 特定の順序付き列に対応する単項式基底要素は、標準基底要素の台多様体の特異点を解消する。
• 解消は、稠密な開ストラトム $X(\mathbf{a},\boldsymbol{\lambda})$ で同型である固有写像 $\pi_{\mathbf{s}(\mathbf{a})}: \tilde{\mathcal{F}}_{\mathbf{s}(\mathbf{a})} \to \overline{X}(\mathbf{a},\boldsymbol{\lambda})$ を用いて実現される。
• 台多様体 $\overline{X}(\mathbf{a},\boldsymbol{\lambda})$ は、単純な perverse sheaf として見たときの標準基底要素の台である。
• バーダイナリィンバリアンスにより、コhomological度のシフトが消失し、$F(\mathbf{a},\boldsymbol{\lambda}) = \mathrm{IC}(\mathbf{a},\boldsymbol{\lambda}) \oplus \bigoplus_{\boldsymbol{\lambda} < \boldsymbol{\mu}} A_{\boldsymbol{\lambda}\mu} \mathrm{IC}(\mathbf{a},\boldsymbol{\mu}) \oplus K$ と、シフトなしに表せることを確認した。