[論文レビュー] Notes on affine isometric actions of discrete groups

Yury A. Neretin|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 1997

Random Matrices and Applications参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、離散群、特に $SL_2(\mathbb{R})$、$SO(1,n)$、$SU(1,n)$、$SL_2(\mathbb{Q}_p)$ の格子におけるアフィン等距作用を研究する。アーベル等距作用の制限が、格子上でも不変となる条件を示し、$\mathbb{R}$-木を介して標準的な不変アフィン等距作用を構成する。これにより、テイヒミュラー空間のサーフェスの微分同相群の表現が、サーフェスのティーリング境界の点によってパラメトライズされる、新たな表現が得られる。

ABSTRACT

Consider a lattice $Γ$ in a group $G = SL_2(\R), SO(1,n), SU(1,n)$, $SL_2(\Q_p)$. We discuss actions of $Γ$ by affine isometric transformations of Hilbert spaces. We show that for irreducible affine isometric action of $G$ its restriction to $Γ$ is irreducible. We prove the existence of canonical irreducible affine isometric actions of $Γ$ associated to actions of $Γ$ on $\R$- trees. Using such actions we construct irreducible representations of semigroup of probabilistic measures on $Γ$ and construct the series of representations of the groups of diffeomorphisms of Riemann surfaces enumerated by the points of Thurston compactification of Teichmüller (Teichmuller) space.

研究の動機と目的

• 半単純リー群内の離散部分群（格子）のアフィン等距作用の構造を理解すること。
• アーベルリー群の不変アフィン等距作用が、その格子に制限されたときにも不変のままである条件を確立すること。
• 格子の $\mathbb{R}$-木への作用を用いて、格子の標準的な不変アフィン等距作用を構成すること。
• これらの構成を用いて、格子上の確率測度の半群の新しいユニタリ表現を生み出すこと。
• これらの表現を、テイヒミュラー空間のティーリングコンパクト化の点によってパrameter化されたリーマン面の微分同相群へ拡張すること。

提案手法

• リー群 $G = SL_2(\mathbb{R}), SO(1,n), SU(1,n), SL_2(\mathbb{Q}_p)$ の不変アフィン等距作用を、その格子 $\Gamma$ に制限して分析する。
• $\mathbb{R}$-木の幾何を用いて、$\Gamma$ の標準的なアフィン等距作用を構成する。
• ヒルベルト空間への等距作用の理論を応用し、$\Gamma$ 上の有限測度の半群のユニタリ表現を導出する。
• $\Gamma$-作用の $\mathbb{R}$-木上の力学的性質を活用して境界作用を定義し、表現を拡張する。
• テイヒミュラー空間のティーリングコンパクト化を用いて、微分同相群の表現をパラメトライズする。
• 無限次元リー群論と幾何的群論の技術を用いて、これらの表現の構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群 $G$ の不変アフィン等距作用が、$G$ の格子 $\Gamma \subset G$ に制限されたとき、どのような条件下で不変のままであるか。
• RQ2 格子 $\Gamma$ の $\mathbb{R}$-木への作用から、$\Gamma$ の標準的な不変アフィン等距作用を構成できるか。
• RQ3 $\mathbb{R}$-木への作用が、$\Gamma$ 上の確率測度の半群のユニタリ表現へどのように導くか。
• RQ4 テイヒミュラー空間のティーリングコンパクト化が、微分同相群の表現のパラメトライズに果たす役割は何か。
• RQ5 ヒルベルト空間へのアフィン等距作用を用いて、微分同相群のような無限次元群の新しい表現を構成できるか。

主な発見

• リー群 $G = SL_2(\mathbb{R}), SO(1,n), SU(1,n), SL_2(\mathbb{Q}_p)$ の不変アフィン等距作用を格子 $\Gamma$ に制限しても、その不変性が保たれる。
• 格子 $\Gamma$ の $\mathbb{R}$-木への作用から、標準的な不変アフィン等距作用が構成される。
• これらの構成により、$\Gamma$ 上の有限測度の半群の不変ユニタリ表現が得られる。
• 本稿では、テイヒミュラー空間のティーリングコンパクト化の点によってパラメトライズされる、リーマン面の微分同相群の連続的族の表現を構成する。
• これらの表現は、ヒルベルト空間へのアフィン等距作用を介して実現され、幾何的群論と無限次元表現論を結ぶ。
• 本研究の結果は、$\mathbb{R}$-木上の力学的性質、曲面への幾何的構造、微分同相群の表現論の間の橋渡しを確立する。