[論文レビュー] Notes on Artin-Tate motives

Jörg Wildeshaus|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、ℚを含む代数的閉包を持つ完全体上におけるアーティン–テイトモチーフの三角圏に非退化なt-構造の存在を確立し、特に基数体が数体である場合、この圏における重み構造がホッジ的実現またはℓ-adic実現によって検出され、特徴づけられることを示している。主な貢献は、実現を用いた重み構造の同定基準を提供することであり、モチーフ的枠組みにおいてt-構造と重み構造を統合するものである。

ABSTRACT

We first study the weight structure on the triangulated category of Artin-Tate motives over a perfect base field k, building on results of Bondarko's. We then study the t-structure on the triangulated category of Artin-Tate motives, when k is algebraic over the rationals, generalizing a result of Levine's. We finally study the interaction of the weight structure and the t-structure. When k is a number field, this will give a useful criterion identifying the weight structure via realizations.

研究の動機と目的

• 完全体kを基とするアーティン–テイトモチーフの三角圏の構造的性質を研究すること。
• この圏におけるモチーフ的重み構造を分析し、[Bo]における幾何的モチーフに関する結果を一般化すること。
• 基数体kがℚを含む代数的閉包を持つ場合に非退化なt-構造の存在を確立すること。これは[L1]におけるテイトモチーフに関する結果の拡張である。
• 特に数体の場合に、t-構造と実現を用いて重み構造を特徴づけること。
• 数体の場合に、ホッジ的実現またはℓ-adic実現を用いて重み構造を同定する基準を提供すること。

提案手法

• 本稿は、[Bo]の結果に基づき、三角圏上の重み構造の理論を用い、アーティン–テイトモチーフに重み構造を誘導する。
• 本稿は[W2]の主要結果を応用し、アーティン–テイトモチーフの圏がそのt-構造の心の有界な導来圏と同値であることを示す。
• 構成は、ベイリンソン–スールェの消失予想が成り立つように保証するため、ℚ係数へのテンソル積を用いる。これはt-構造の存在に不可欠である。
• ホッジ的実現およびℓ-adic実現を用いて重み構造を検出する。特に、これらの函手によるコホモロジー対象の振る舞いに注目する。
• 証明戦略は、レヴィンの[L1]の戦略を、アーティン–テイトモチーフのより広い設定に適合させたものである。
• 導来圏における直交性および純粋性条件を確立し、t-構造と重み構造の整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基数体kがℚを含む代数的閉包を持つ場合、アーティン–テイトモチーフの三角圏に非退化なt-構造が存在するか？
• RQ2 アーティン–テイトモチーフにおける重み構造は、t-構造と実現を用いて特徴づけられるか？
• RQ3 基数体kが数体である場合、アーティン–テイトモチーフにおける重み構造はホッジ的実現またはℓ-adic実現によって検出可能か？
• RQ4 アーティン–テイトモチーフの圏において、重み構造とt-構造はどのように相互作用するか？
• RQ5 ℚ係数は、t-構造の存在とベイリンソン–スールェの消失予想の正当性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 基数体kがℚを含む代数的閉包を持つ場合、アーティン–テイトモチーフの三角圏に非退化なt-構造が存在する。これは定理3.1で示されている。
• このt-構造の心は、アーベル的で半単純な圏であり、混合アーティン–テイトモチーフの圏として特定される。
• アーティン–テイトモチーフにおける重み構造は、t-構造によって完全に特徴づけられる。これは定理3.9で確立されている。
• 数体の場合、重み構造は実現を用いて検出され、識別される。特に、モチーフKがw=0の心にあることと、そのn番目の実現におけるコホモロジーが重みnの純粋性を示すことは同値である。これは定理3.11で述べられている。
• ホッジ的実現は重み構造を尊重する。これは、重み構造の心を、混合ホッジ構造の導来圏における標準的重み構造の心へ写像するためである。
• ℓ-adic実現は、正の次数で非自明なHom群が存在するため、対象圏における標準的重み構造を尊重しない。これは注記3.13(b)で示されている。