[論文レビュー] Notes on bimonads and Hopf monads

Bachuki Mesablishvili, Robert Wisbauer|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 41

ひとこと要約

この論文は、右前ホップモノイドがモノイド圏におけるギャロアのエンティニングに同値であることを確立し、古典的ホップ代数理論を一般化する。Cauchy完備な圏上の双モノイドがホップモノイドになるのは、その融合作用素が可逆であるときかつそのときに限ることを示し、カルテジアンモノイド圏において前ホップ構造がカテゴリカル同値をもたらさない反例も提示する。

ABSTRACT

For a generalisation of the classical theory of Hopf algebra over fields, A. Bruguières and A. Virelizier study opmonoidal monads on monoidal categories (which they called {\em bimonads}). In a recent joint paper with S. Lack the same authors define the notion of a {\em pre-Hopf monad} by requiring only a special form of the fusion operator to be invertible. In previous papers it was observed by the present authors that bimonads yield a special case %Hopf monads may be considered as a special case of an entwining of a pair of functors (on arbitrary categories). The purpose of this note is to show that in this setting the pre-Hopf monads are a special case of Galois entwinings. As a byproduct some new properties are detected which make a (general) bimonad on a Cauchy complete category to a Hopf monad. In the final section applications to cartesian monoidal categories are considered.

研究の動機と目的

• オプモノイド的モノイドの文脈において、前ホップモノイドとギャロアのエンティニングの関係を明確化すること。
• Cauchy完備な圏上の双モノイドがホップモノイドになる新たな十分条件を同定すること。
• カルテジアンモノイド圏において、前ホップ構造があるにもかかわらず、比較関手が同値でない理由を調査すること。
• 古典的ホップ代数の基本定理をエンティニング関手およびギャロア理論の文脈に一般化すること。
• 前ホップ構造がカルテジアン設定においてカテゴリカル同値を意味しないことを示す反例を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、モノイドとコモノイドの間のエンティニング関手の枠組みを用い、特に双モノイド $T$ に関連するコモノイド $-\otimes T(\mathbb{I})$ に注目する。
• 文献[10]におけるギャロアのエンティニング理論を適用し、右前ホップモノイドがベース圏と $T$-加群の圏との間の同値を誘導する条件を特徴付ける。
• 主な技術的道具は、比較関手 $K_{1_{\mathtt{1}},\mathtt{1}}$ の構成と、その本質的全射性および完全忠実性の分析である。
• $g: \mathbb{I} \to C$ なる群的射影の存在を用いて、$C$ から $T(C)$ へのコモノイド構造の持ち上げを行い、加群圏とコ加群圏の間の関手の定義を可能にする。
• 文献[3]および[11]の結果を応用し、融合作用素が同値を誘導する条件を精緻化する。
• 反例として、冪集合モノイド $\mathcal{P}$ 及びその制限 $\mathcal{P}^+$ を用い、比較関手が同値でないことを示す。これは、前ホップ条件が満たされているにもかかわらず成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイド圏上の右前ホップモノイドが、比較関手を介してベース圏と $T$-加群の圏との間に同値を誘導するのはいつか？
• RQ2 Cauchy完備な圏上の双モノイド $T$ に対して、$T$ がホップモノイドであることを保証する条件は何か？
• RQ3 モノイドが前ホップである場合でも、比較関手 $K_{1_{\mathtt{1}},\mathtt{1}}$ が同値になる条件は何か？
• RQ4 なぜ、$\text{Set}$ のようなカルテジアンモノイド圏において、モノイドが右前ホップであるにもかかわらず比較関手が同値でないのか？
• RQ5 群的射影 $g: \mathbb{I} \to C$ がコモノイドの意味で同型であるのはいつか？ そして、これにより加群圏とコ加群圏の間の誘導関手にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 右前ホップモノイドは、関連するエンティニングが $G_{T(\mathbb{I})}$-ギャロア的であるときに限り、ベース圏と $T$-加群の圏との間でカテゴリカル同値を生じる。
• Cauchy完備な圏上の双モノイドは、その左および右の融合作用素が同型であるときかつそのときに限りホップモノイドになる。
• 集合値層の圏上のモノイド $T_u$ に対し、比較関手 $K_{1_{\mathtt{1}},\mathtt{1}}$ は $T_u$ が右前ホップであるにもかかわらず同値でない。
• 冪集合モノイド $\mathcal{P}$ に対して、比較関手 $\overline{i}: \textbf{ACSLat} \to (\textbf{CSLat} \downarrow \mathtt{2})$ は、$\mathcal{P}^+$ が右前ホップであるにもかかわらず同値でない。
• 完全半順序集合上の関手 $i_*i^*$ は新たな最小元を追加し、コモノイド準同型 $S_{\overline{i}}$ は同型でないため、$1_{\mathtt{1}}$ は $\mathcal{P}$ に対してギャロアの群的要素でないことが示される。
• 比較関手 $\overline{i}$ は完全忠実であり、右随伴を持つが、同値でない。これは、カルテジアン設定において前ホップ構造がカテゴリカル同値を意味しないことを示している。