[論文レビュー] Notes on Chain Recurrence and Lyapunonv Functions

John Franks|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿は位相的力学系における鎖的再帰性と完全なリャプノフ関数について簡潔に解説し、コンリーの基本定理を用いてコンパクトな距離空間上のホメオモルフィズムに対して完全なリャプノフ関数の存在を証明する。鎖的再帰集合がコンパクトかつ不変であることを確立し、鎖的再帰集合の外では厳密に減少する連続関数を構成することで、鎖的再帰的成分を分類できることを示す。

ABSTRACT

This short expository note provides an introduction to the concept of chain recurrence in topological dynamics and a proof of the existence complete Lyapunov functions for homeomorphisms of compact metric spaces due to Charles Conley. I have used it as supplementary material in introductory dynamics courses.

研究の動機と目的

• 動的システム分野の研究者を対象に、位相的力学系における鎖的再帰性の概念を導入し、明確化すること。
• チャールズ・コンリーが確立した通り、コンパクトな距離空間上のホメオモルフィズムに対して完全なリャプノフ関数の存在を自己完結的な証明で提示すること。
• 鎖的再帰性と吸引・排斥対を用いて、システムの力学を鎖的再帰的成分に分解する方法を示すこと。
• 完全なリャプノフ関数の等高線集合とシステムの鎖的再帰的成分との間の対応関係を確立すること。
• このような関数による鎖的再帰集合の像が、滑らかな力学系における臨界値に類似した、コンパクトでどこでも稠密でないℝの部分集合であるという性質を示すこと。

提案手法

• ε-鎖を用いて鎖的再帰性を定義する：点xが鎖的再帰的であるとは、任意のε > 0に対して、xで始まりxで終わる有限個の点の列が存在し、f(xi)とxi+1の間の距離がε未満であることを意味する。
• 隔離近傍を用いて吸引集合と排斥集合を定義する：コンパクト集合Aが吸引集合であるとは、f(cl(U)) ⊂ U かつ cl(U) の正の反復の共通部分がAに一致することを意味する。
• g₀(x) = d(x,A)/(d(x,A) + d(x,A*)) を用いて吸引集合と排斥集合を分離する連続関数を構成する。
• g₁(x) = sup{g₀(fⁿ(x)) | n ≥ 0} を定義し、軌道に沿って非増加で、X \ (A ∪ A*) 上で連続な関数を構成する。
• 可算個の吸引・排斥対に対応する関数の重み付き和 g(x) = Σ (2gₙ(x)/3ⁿ) を用いて最終的なリャプノフ関数を構成し、収束性と連続性を保証する。
• g(x) の三進展開を用いて、g(R(f)) がカントール集合に含まれることを保証し、コンパクト性とどこでも稠密でない性質を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな距離空間上のホメオモルフィズムの力学は、鎖的再帰性と吸引・排斥対を用いてどのように分解可能か？
• RQ2 鎖的再帰的成分を分類する完全なリャプノフ関数の存在を保証する条件は何か？
• RQ3 鎖的再帰集合は不変測度および再帰的点の構造とどのように関係するか？
• RQ4 鎖的再帰集合の外では厳密に減少し、鎖的再帰的成分上で定数となる連続関数を構成できるか？
• RQ5 完全なリャプノフ関数による鎖的再帰集合の像が持つ位相的性質は何か？

主な発見

• 鎖的再帰集合 R(f) は閉かつ f に関して不変であり、f が開集合上で全空間を覆う有限測度を保存する場合には、R(f) は全体空間 X に等しい。
• 任意の x, y ∈ X および ε > 0 に対して、f が開集合上で全空間を覆う有限測度を保存し、X が連結であれば、x から y への ε-鎖が存在する。
• 任意のホメオモルフィズム f に対して、コンパクトな距離空間上に完全なリャプノフ関数 g: X → ℝ が存在し、次を満たす：x ∉ R(f) ならば g(f(x)) < g(x) であり、x, y ∈ R(f) ならば g(x) = g(y) であることと x ∼ y が同値である。
• g(R(f)) はℝのコンパクトでどこでも稠密でない部分集合であり、特にカントールの三分の一集合に含まれており、内部を持たない。
• g の等高線集合は鎖的再帰的成分と正確に一致する：g(x) = g(y) であることと x と y が鎖的同値であることは同値である。
• 可算個の吸引・排斥対に対応する関数の重み付き和による g の構成は、一様収束性と連続性を保証する。