[論文レビュー] Notes on Convex Sets, Polytopes, Polyhedra, Combinatorial Topology, Voronoi Diagrams and Delaunay Triangulations

Jean Gallier|ArXiv.org|May 2, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 34被引用数 48

ひとこと要約

この論文は、ボロノイ図とデローラン三角形分割に焦点を当て、凸集合、多面体、多面体、組合せ的位相幾何学について、きめ細やかで自己完結的なチュートリアルを提供する。射影幾何学とステレオグラフィック射影を用いた新規な枠組みにより、球面および放物面へのリフトアップの下でデローラン三角形分割とボロノイ図の等価性を厳密に証明し、計算幾何学における基礎的曖昧性を解消する。

ABSTRACT

Some basic mathematical tools such as convex sets, polytopes and combinatorial topology, are used quite heavily in applied fields such as geometric modeling, meshing, computer vision, medical imaging and robotics. This report may be viewed as a tutorial and a set of notes on convex sets, polytopes, polyhedra, combinatorial topology, Voronoi Diagrams and Delaunay Triangulations. It is intended for a broad audience of mathematically inclined readers. I have included a rather thorough treatment of the equivalence of V-polytopes and H-polytopes and also of the equivalence of V-polyhedra and H-polyhedra, which is a bit harder. In particular, the Fourier-Motzkin elimination method (a version of Gaussian elimination for inequalities) is discussed in some detail. I also included some material on projective spaces, projective maps and polar duality w.r.t. a nondegenerate quadric in order to define a suitable notion of ``projective polyhedron'' based on cones. To the best of our knowledge, this notion of projective polyhedron is new. We also believe that some of our proofs establishing the equivalence of V-polyhedra and H-polyhedra are new.

研究の動機と目的

• 幾何モデリング、ロボット工学、医療画像処理に用いられる凸幾何学および組合せ的位相幾何学の概念に、包括的で数学的に厳密な基礎を提供すること。
• デローラン三角形分割の標準的なリフト構成における曖昧性を解消するために、球面から放物面への射影写像の正しさを射影幾何学を用いて厳密に証明すること。
• 非退化な二次曲面に関する錐と双対性に基づく「射影的多面体」という概念を導入・形式化し、非有界多面体の一貫性ある取り扱いを可能にすること。
• フーリエ＝モーツキンの消去法を用いて、V-多面体とH-多面体の等価性を確立すること。これは、線形不等式系を扱うための重要な道具である。

提案手法

• 射影幾何学を用いて射影空間における凸多面体を定義し、非有界構造およびステレオグラフィック射影の明確な取り扱いを可能にする。
• 球面から放物面への逆ステレオグラフィック射影を適用し、デローラン三角形分割とボロノイ図を写像することで、その組合せ的構造が保存されることを証明する。
• 非退化な二次曲面に関する錐と双対性に基づく「射影的多面体」という新概念を導入し、非有界ケースの取り扱いに不可欠である。
• フーリエ＝モーツキンの消去法を計算的手法として用い、V-多面体とH-多面体の等価性を証明する。これは、標準的な線形計画法の手法を不等式系に一般化するものである。
• シェリングと組合せ的位相幾何学を用いて、単体的および単純多面体に焦点を当て、オイラー＝ポワンカレの公式および上界定理を証明する。
• 双対性を適用することで、元の多面体が単体的でない場合でも、デローラン多面体の双対が単純多面体であることが示される。これは、双対において無限遠点に位置する頂点が頂点数に寄与しないためである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面から放物面への写像が射影空間内でのみ正しく定義される場合に、デローラン三角形分割の標準的リフト構成を射影幾何学を用いてどのように厳密に正当化できるか。
• RQ2 ボロノイおよびデローラン複体の文脈において、非有界多面体および双対性を一貫して取り扱える「射影的多面体」という適切な概念は何か。
• RQ3 線形不等式系と非有界領域を扱う際、V-多面体とH-多面体の等価性はどのように確立できるか。
• RQ4 シェリング性は、多面体のオイラー＝ポワンカレの公式および上界定理の証明において果たす役割は何か。また、デローランおよびボロノイ複体の構造とどのように関係するか。
• RQ5 なぜボロノイ図とデローラン三角形分割は、球面から放物面へのステレオグラフィック射影のもとで不変のままであるのか。この不変性を保証する幾何学的および位相的条件は何か。

主な発見

• 球面から放物面への射影写像は、デローラン三角形分割およびボロノイ図の組合せ的構造を正しく保存する。これにより、両者の構成が等価であることが証明される。
• 元の多面体が単体的でない場合でも、無限遠点に位置する頂点を有する非有界面が存在するため、デローラン多面体の双対は単純多面体である。
• フーリエ＝モーツキンの消去法を用いることで、V-多面体とH-多面体の等価性が確立される。この手法は、線形不等式系に一般化されたガウスの消去法に相当する。
• 点集合Pが一般位置にあるとき、ボロノイ図の頂点はd+1個の点から等距離に位置し、デローラン三角形分割は単体的複体である。
• 最大空円問題は、ボロノイ頂点および辺を調べることで解ける。最適な中心が凸包の内部に厳密に存在する場合、その中心はボロノイ頂点に位置する。
• 点集合の最小全域木は、デローラン三角形分割に含まれる。これにより、デローランに基づく手法を用いて最小全域木を効率的に計算するアルゴリズムが可能になる。