[論文レビュー] Notes on Derivation of 'Generalized Gravitational Entropy'

D. V. Fursaev|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2014

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、錐状特異性に依存せずに、コディメンション2のエンタングルメント表面に対する一般化重力エントロピーの新しい導出を提示する。ハミルトニアンに類する境界項のアプローチを用いる。エントロピー関数がエンタングルメント表面で極値をとることを示し、ローベルック重力のエントロピー公式を再現することで、代替的手法による先行結果との一貫性を確認する。

ABSTRACT

An alternative derivation of generalized gravitational entropy associated to co-dimension 2 'entangling' hypersurfaces is given. The approach is similar to the Jacobson-Myers 'Hamiltonian' method and it does not require computations on manifolds with conical singularities. It is demonstrated that the entangling surfaces should be extrema of the entropy functional. When our approach is applied to Lovelock theories of gravity the generalized entropy formula coincides with results derived by other methods.

研究の動機と目的

• 作用における錐状特異性に依存しない一般化重力エントロピーの代替的導出を提供すること。
• エンタングルメント表面がエントロピー関数の極値をとることを確立すること。
• 導出されたエントロピー公式が、ローベルック重力理論における既知の結果と一貫していることを検証すること。
• ジャコブソン＝マイヤーのハミルトニアン法を高次導関数重力作用へ一般化すること。

提案手法

• エンタングルメント表面の近傍に小さな領域を抽出し、重力作用から境界項を抽出する。
• $ n $ 重複した多様体 $ \mathcal{M}_n $ を用いたレプリカトリックを用いる。ここで $ \mathcal{T}_n $ は $ 2\pi n $-周期的な $ \tau $-座標を持つ。
• エントロピーは $ \lim_{n\to1} (n\partial_n - 1) I[\bar{\mathcal{M}}_n] $ の極限として得られ、直接的な錐状特異性の使用を避ける。
• 境界項は $ \epsilon \to 0 $ の極限で評価され、ここで $ \epsilon $ はエンタングルメント表面 $ \mathcal{B} $ 近傍の半径カットオフである。
• 複素法線ベクトルおよび外在曲率 $ k_{ij}, \bar{k}_{ij} $ を用いてリーマンテンソルを $ \mathcal{B} $ に射影する。
• 最終的なエントロピー公式は、境界項の積分から得られ、$ \mathcal{B} $ 上にローベルックに類似した構造を持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化重力エントロピーは、作用における錐状特異性に依存せずに導出可能か？
• RQ2 この新しい導出において、エンタングルメント表面 $ \mathcal{B} $ はエントロピー関数の極値をとるか？
• RQ3 高次導関数重力（ローベルック）における導出されたエントロピー公式は、他の手法による既知の結果と一致するか？
• RQ4 ジャコブソン＝マイヤーのハミルトニアン法は、非アインシュタイン重力における一般化エントロピーへ拡張可能か？
• RQ5 任意の高次導関数重力理論において、エントロピー関数が極値をとる条件は何か？

主な発見

• 一般化重力エントロピーは、レプリカ幾何における作用からの境界項を用いて、錐状特異性に依存せずに導出された。
• エンタングルメント表面 $ \mathcal{B} $ がエントロピー関数の極値をとることを示し、重要な一貫性条件である。
• ローベルック重力において、導出されたエントロピー公式は既知の結果と一致する：$ S = 4\pi \sum_m m c_m \hat{I}_m[\mathcal{B}] $、ここで $ \hat{I}_m[\mathcal{B}] $ は $ \mathcal{B} $ 上のローベルックに類似した不変量である。
• 境界項の評価は、$ k_{ij} $ および $ \bar{k}_{ij} $ の曲率と $ \mathcal{B} $ の内在リーマンテンソルを含む明確な式を得る。
• この方法は、$ \mathcal{B} $ がホログラフィックエンタングルメント表面である場合、AdS重力におけるホログラフィー的エントロピーの一致を確認する。
• 導出が自己整合的であるためには、エンタングルメント表面がエントロピー関数を極値にとる必要があり、これはすべての高次導関数重力理論で保証されない。