[論文レビュー] Notes on Engel groups and Engel elements in groups. Some generalizations

B. Plotkin|ArXiv.org|Jun 6, 2004

Finite Group Theory Research参考文献 10被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、群における零元およびエンゲル元を調査し、古典的エンゲル群論を零群、可解根基、PI群を含むより広い文脈に一般化する。PI群において、局所的に冪零な根基がすべての零元の集合と一致することを証明し、有限生成で残渣的有限なエンゲル群が冪零であることを確立する。これは、制限付きバーンサイド型問題および群論における根基構造に関する結果を拡張する。

ABSTRACT

Engel groups and Engel elements became popular in 50s. We consider in the paper the more general nil-groups and nil-elements in groups. All these notions are related to nilpotent groups and nilpotent radicals in groups. These notions generate problems which are parallel to Burnside problems for periodic groups. The first three theorems of the paper are devoted to nil-groups and Engel groups, while the other results are connected with the further generalizations. These generalizations extend the theory to solvable groups and solvable radicals in groups. The paper has two parts. The first one (sections 2-4) deals with old ideas, while the second one (sections 5-9) is devoted to generalizations.

研究の動機と目的

• 零群および零元を導入することでエンゲル群論を一般化し、古典的結果をより広い群論的文脈に拡張すること。
• すべての元が零元またはエンゲル元であるような群の構造を、特に局所的に冪零な根基および可解根基と関連して調査すること。
• 零元の集合が部分群をなす条件を確立すること、特にPI群および残渣的有限群において。
• エンゲルに類似した元と可解根基との関係を探索し、冪零構造を超えた理論を拡張すること。
• 制限付きバーンサイド問題および有限生成エンゲル群の構造に関する未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 始点として $ e_n(x,y) = [e_{n-1}(x,y), y] $ を用い、$ e_1(x,y) = [x,y] $ と定義することでエンゲル元および零元を定義する。
• 群の構造とその根基を分析するために、上根基系列 $ R_0 riangleleft R_1 riangleleft igcup R_eta = R $ の概念を適用する。
• 有限生成で残渣的有限なエンゲル群が冪零であることを示すウィルソンの定理を用い、特定の商群における冪零性を証明する。
• ユニトリ角行列群の作用に関するカラズニンの定理を用い、フィルトレーションされたベクトル空間への忠実な作用から冪零性を導出する。
• 特にプロセッチおよびトカラエンコの定理を含むPI代数理論の結果を応用し、周期的PI群が局所的に有限であることを示す。
• 無限列 $ ar{a} = (a_1, a_2, ar{}) $ を用いた非有界準零元の概念を導入し、$ orall ar{a} ext{ } orall g ext{ } orall k ext{ } orall ext{ 合致する } (n_1,ar{}) $ に対して $ ho_{(n_1,ar{},n_k)}(a_1,ar{},a_k;g) = 1 $ が成り立つことを要件とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群におけるすべての零元の集合が部分群をなす条件は何か、特にPI群において。
• RQ2 有限生成で残渣的有限なエンゲル群は常に冪零であるか。
• RQ3 PI群の局所的に冪零な根基が、すべての零元の集合と一致するか。
• RQ4 PI群における可解根基の構造は、元に対するエンゲルに類似した条件によって特徴づけられるか。
• RQ5 非有界準零元と群の上根基系列との関係は何か。

主な発見

• 任意の $ n $-エンゲル群の変種 $ E_n $ において、局所的に冪零な群のクラスは部分変種をなす。
• 任意の有限生成 $ n $-エンゲル群 $ G $ に対して、商群 $ ilde{F}^n_k = F^n_k / H^n_k $ は冪零である。これは、自由 $ n $-エンゲル群の非冪零性予想に対する制限付き解を与える。
• 任意のPI群 $ G $ において、すべての零元の集合は局所的に冪零な根基 $ extrm{HP}(G) $ と一致する。これは定理3で証明されている。
• 有限上根基系列を持つ群 $ G $ の上根基 $ ilde{R}(G) $ の任意の元は、非有界準零元である。
• 群 $ G $ が $ PI $-群であり、任意の二つの元が可解部分群を生成するならば、$ G $ はその局所的に冪零な根基 $ extrm{HP}(G) $ で割った群に関して可解である。
• PI群 $ G $ において、群 $ ilde{R}(G)/R(G) $ は可解であるが、$ ilde{R}(G) $ 自体は局所的に可解であるとは限らない。