[論文レビュー] Notes on error estimates for Galerkin approximations of the 'classical' Boussinesq system and related hyperbolic problems

Dimitrios Antonopoulos, Vassilios A. Dougalis|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 21被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、分散性または粘性正則化を伴う古典的一次元Boussinesq系および関連する双曲型問題に対するGalerkin-有限要素近似について、厳密な誤差推定を確立する。時間積分に明示的ルンゲ＝クッタ法を用いた半離散および完全離散スキームを用い、最適収束率を証明する。均等メッシュ上では解成分について$L^2$ノルムで$O(h^2)$の収束率を示し、準均等メッシュ上では$\eta$について$O(h^{3/2})$、$u$について$O(h^2)$の収束率を示す。数値実験により、理論的収束次数と整合する収束が確認された。

ABSTRACT

We consider the `classical' Boussinesq system in one space dimension and its symmetric analog. These systems model two-way propagation of nonlinear, dispersive long waves of small amplitude on the surface of an ideal fluid in a uniform horizontal channel. We discretize an initial-boundary-value problem for these systems in space using Galerkin-finite element methods and prove error estimates for the resulting semidiscrete problems and also for their fully discrete analogs effected by explicit Runge-Kutta time-stepping procedures. The theoretical orders of convergence obtained are consistent with the results of numerical experiments that are also presented.

研究の動機と目的

• 速度に関する同次ディリクレ境界条件を伴う古典的一次元Boussinesq系の半離散および完全離散Galerkin近似に対する事前誤差推定を確立すること。
• 分散性または粘性正則化を伴うBoussinesq系および関連する双曲型系に対して、Galerkin-有限要素法と明示的ルンゲ＝クッタ時間ステッピングを組み合わせた収束挙動を分析すること。
• 均等メッシュおよび準均等メッシュの両方で、理論的収束率を数値実験により検証すること。
• 他のBoussinesq系が4つの境界条件を必要とするのに対し、本系は速度に関する境界条件を2つだけでよい、というwell-posednessの特徴を示すこと。

提案手法

• 領域$[0,1]$上での連続な一次関数を用いたGalerkin-有限要素法による空間離散化。
• 安定性および収束解析のため、ステップサイズ$k = h$および$k = \Delta x$を用いた明示的ルンゲ＝クッタスキームによる時間離散化。
• $L^2$-基準のソボレフノルムおよび弱形式を用いて、半離散問題のエネルギー推定および安定性バウンドを導出する。
• 空間近似誤差を抑え込むために、$L^2$射影および補間誤差推定を適用する。
• 初期境界値問題の弱解の存在および一意性を確立するため、放物型正則化技術を用いる。
• 完全離散スキームを用いた数値的検証：製造された正確解を用い、理論的収束次数が確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 速度に関する同次ディリクレ境界条件を伴う古典的一次元Boussinesq系に対するGalerkin-有限要素近似の最適収束率は何か？
• RQ2 分散性または粘性正則化が存在する場合、均等メッシュと準均等メッシュの両方における収束率にどのような差が生じるか？
• RQ3 同じ誤差推定フレームワークを、$u_{xxt}$または$u_{xx}$項を含む関連する双曲型系へ拡張可能か？
• RQ4 明示的ルンゲ＝クッタスキームによる時間離散化が、完全離散スキーム全体の収束次数に与える影響は何か？
• RQ5 理論的誤差バウンドと実際のシミュレーションにおける数値結果は、どのように比較されるか？

主な発見

• 表面変動$\eta$の$L^2$誤差は、均等メッシュ上では$O(h^2)$、準均等メッシュ上では$O(h^{3/2})$で収束する。
• 速度$u$は、均等メッシュおよび準均等メッシュの両方で$O(h^2)$で収束し、理論的予測と一致する。
• 数値実験により、理論的収束次数が確認された：均等メッシュ上では$\eta$について$O(h^2)$、$u$について$O(h^2)$、準均等メッシュ上では$\eta$について$O(h^{3/2})$の収束が観察された。
• 粘性双曲型系$\eta_t + u_x = 0$, $u_t + \eta_x - u_{xx} = 0$について、$\eta$の$L^2$誤差は準均等メッシュ上では$O(\Delta x)$、均等メッシュ上では$O(h^{3/2})$であり、$u$は$O(h^2)$で収束する。
• 粘性系の収束率は線形分散系と一致し、解析フレームワークの頑健性が裏付けられた。
• 数値結果は理論的誤差推定を強く支持しており、すべてのテストケースにおいて観測された収束次数が理論的予測と非常に近い。