[論文レビュー] Notes on factor-criticality, extendibility and independence number

Zan‐Bo Zhang, Dingjun Lou+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$k$-拡張可能なグラフが $k = \nu/4$ のとき $2k$-因子臨戦的であるための必要十分条件を確立し、先行研究におけるギャップを解消した。さらに、$n$-因子臨戦的および $k\frac{1}{2}$-拡張可能なグラフにおける独立数の鋭い上限を証明し、次数および構造的制約の下で $k$-拡張可能性、$2k$-因子臨戦性、および独立数 $\leq \nu/2 - k$ の同値性を示した。

ABSTRACT

In this paper, we give a sufficient and necessary condition for a $k$-extendable graph to be $2k$-factor-critical when $k=ν/4$, and prove some results on independence numbers in $n$-factor-critical graphs and $k\frac{1}{2}$-extendable graphs.

研究の動機と目的

• 先行研究で未解決であった、$k = \nu/4$ のとき $k$-拡張可能なグラフが $2k$-因子臨戦的であるための特徴付けのギャップを埋めること。
• $n$-因子臨戦的および $k\frac{1}{2}$-拡張可能なグラフにおける独立数 $\alpha(G)$ の鋭い上界を確立すること。
• $k$-拡張可能性、$2k$-因子臨戦性、および独立数制約が同値となる正確な条件を同定すること。
• $k$-拡張可能性が $2k$-因子臨戦性を示さない例外的な場合を特定し、それを正確に特徴づけること。

提案手法

• 最大マッチングにおける頂点の役割に基づく $D(G)$, $A(G)$, $C(G)$ の集合を分析するため、Gallai-Edmonds 構造定理を用いる。
• すべての $S \subseteq V(G)$ に対して $|S| \geq n$ のとき $o(G-S) \leq |S| - n$ を満たす条件を用いて、$n$-因子臨戦的グラフを特徴付ける。
• 補題 1.8 を用いて、$k\frac{1}{2}$-拡張可能性と $G \vee K_1$ の $(k+1)$-拡張可能性の同値性を活用する。
• 極値的構成（例：$K_{(\nu+n)/2} \vee ((\nu-n)/2)K_1$）を用いて、独立数の上限の鋭さを検証する。
• $\nu = 4k$ のときの $k$-拡張可能なグラフにおける頂点次数制約および成分構造を分析し、$2k$-因子臨戦性の必要十分条件を導出する。
• $o(G-S) > |S| - n$ を満たす頂点集合 $S$ のサイズに関する場合分けを用いて、非 $n$-因子臨戦的条件を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k = \nu/4$ のとき、$k$-拡張可能なグラフが $2k$-因子臨戦的であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 独立数 $\alpha(G)$ と最小次数 $\delta(G)$ は、$n$-因子臨戦的性にどのように制約を加えるか？
• RQ3 $k$-拡張可能性、$2k$-因子臨戦性、および $\alpha(G) \leq \nu/2 - k$ が同値となる条件は何か？
• RQ4 結合構成 $G_0 \vee (G_1 \cup G_2)$ は、非 $n$-因子臨戦的グラフを特徴付ける際に果たす役割は何か？
• RQ5 $n$-因子臨戦的グラフに対して独立数の上限 $\alpha(G) \leq (\nu - n)/2$ は鋭いか？また、等号が成立する条件は何か？

主な発見

• $k = \nu/4$ のとき、$k$-拡張可能なグラフは $\delta(G) \geq 3k$ であるか、$\delta(G) = 2k$ であれば $2k$-因子臨戦的でない場合に限り $2k$-因子臨戦的である。
• $2k+1 \leq \delta(G) \leq 3k-1$ のとき、グラフは $2k$-因子臨戦的でないための必要十分条件として、$V(G)$ がそれぞれのサイズが $2k$ の二つの集合に分割可能で、各集合が二つの因子臨戦的成分からなるグラフを誘導する場合に限る。
• $n$-因子臨戦的グラフの独立数は $\alpha(G) \leq (\nu - n)/2$ を満たし、この上限は鋭く、$K_{(\nu+n)/2} \vee ((\nu-n)/2)K_1$ で等号が成立する。
• $k\frac{1}{2}$-拡張可能なグラフに対しては $\alpha(G) \leq (\nu - 1)/2 - k$ が成り立ち、この上限は鋭く、$G = ((\nu-1)/2 - k)K_1 \vee K_{(\nu+1)/2 + k}$ で等号が成立する。
• グラフ $G$ が $n$-因子臨戦的であるための必要十分条件は、$\alpha(G) \leq (\nu - n)/2$ かつ $\delta(G) \geq (\nu + n)/2 - 1$ であり、$G$ が $G_0 \vee (G_1 \cup G_2)$ の形をとり、$G_1 = G_2 = K_{(\nu-n)/2}$ かつ $(\nu - n)/2$ が奇数である場合を除く。
• $\nu/4 \leq k \leq \nu/2 - 1$ かつ $\delta(G) \geq \nu/2 + k - 1$ のとき、$k$-拡張可能、$2k$-因子臨戦的、および $\alpha(G) \leq \nu/2 - k$ は同値であるが、$k = \nu/4$ が奇数のとき、例外的なグラフ $G = (K_k \cup K_k) \vee (K_k \cup K_k)$ を除く。