[論文レビュー] Notes on Formal Deformations of Hom-associative and Hom-Lie Algebras

Abdenacer Makhlouf, Sergei Silvestrov|ArXiv.org|Dec 19, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 115

ひとこと要約

この論文は、ゲルステンハーバーとニエンフイズ＝リチャードソンの理論に類似したコホロジーに基づく枠組みを構築することで、ホモ結合的およびホモリーアルジブラに形式的変形理論を拡張する。変形コホロジー群を導入し、$q$-deformed ワイト algebra およびジャクソン $\frak{sl}_2(\bbK)$ が $\frak{sl}_2(\bbK)$ の形式的変形として生じることを証明し、変形パラメータ $t$ のべき級数を用いた明示的なホモリーアルジブラの族が、古典的リーアルジブラを変形することを示す。主たる貢献は、コホロロジー的手法を用いたホモ代数の体系的変形理論の構築である。

ABSTRACT

The aim of this paper is to extend to Hom-algebra structures the theory of formal deformations of algebras which was introduced by Gerstenhaber for associative algebras and extended to Lie algebras by Nijenhuis-Richardson. We deal with Hom-associative and Hom-Lie algebras. We construct the first groups of a deformation cohomology and give several examples of deformations. We provide families of Hom-Lie algebras deforming Lie algebra $sl_2$ and describe as formal deformations the q-deformed Witt algebra and Jackson $sl_2$.

研究の動機と目的

• 従来、結合的およびリーアルジブラに対して開発された形式的変形理論を、ホモ代数のカテゴリに拡張すること。
• ホモ結合的およびホモリーアルジブラの形式的変形に適したコホロジー理論を構築すること。
• 古典的リーアルジブラ、たとえば $\frak{sl}_2(\bbK)$ が非自明なホモリーアルジブラ変形を許容することを示すこと。
• $q$-deformed ワイト代数およびジャクソン $\frak{sl}_2(\bbK)$ が、それらの古典的類似物の形式的変形であることを示すこと。

提案手法

• 変形パラメータ $t$ のべき級数を用い、代数の係数に含める形式的変形を導入する。
• 双線形写像 $[\cdot,\cdot]_t = \sum_{k\geq 0} [\cdot,\cdot]_k t^k$ および構造写像 $\alpha_t = \sum_{k\geq 0} \alpha_k t^k$ の族として変形を定義し、$t^k$ までの順序でホモジャコビおよびホモ結合的恒等式を満たすこと。
• ホモ結合的およびホモリーアルジブラの第一コホロジー群を構成し、無限小変形を分類すること。
• 変形パラメータ $q = 1 + t$ を用いて、$q$-deformed ワイト代数の括弧を $t$ のべき級数に展開し、$t^0$ 項として古典的ワイト代数が得られることを明らかにする。
• 第一階層の変形 $[x_n,x_m]_1 = \frac{(n-m)(n+m-1)}{2}x_{n+m}$ および $\alpha_1(x_n) = nx_n$ が、$t^1$ まででホモジャコビ恒等式を満たすことを検証する。
• 括弧および構造写像が $t$ のべき級数として展開されることを示すことにより、$q$-deformed ワイト代数が古典的ワイト代数の形式的変形であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的変形理論は、ゲルステンハーバーの理論およびニエンフイズ＝リチャードソンの枠組みに類似して、ホモ結合的およびホモリーアルジブラに一般化可能か？
• RQ2 $\frak{sl}_2(\bbK)$ のような剛体リーアルジブラは、非自明なホモリーアルジブラ変形を許容するか？
• RQ3 $q$-deformed ワイト代数は、ホモリーアルジブラの文脈において、古典的ワイト代数の形式的変形であるか？
• RQ4 $q$-deformed $\frak{sl}_2(\bbK)$ 代数は、古典的 $\frak{sl}_2(\bbK)$ 代数の形式的変形として実現可能か？
• RQ5 ホモ代数の形式的変形の背後にあるコホロロジー的構造は何か？

主な発見

• $q$-deformed ワイト代数は、古典的ワイト代数 $W_{\geq 0}$ の形式的変形であり、$t^0$ 項で古典的括弧が回復される。
• ワイト代数の第一階層変形は $[x_n,x_m]_1 = \frac{(n-m)(n+m-1)}{2}x_{n+m}$ で与えられ、反対称的かつホモ構造と整合的である。
• $q$-deformed $\frak{sl}_2(\bbK)$ 代数は、$t = q-1$ のべき級数を用いて、古典的 $\frak{sl}_2(\bbK)$ 代数の形式的変形として生じ、$\alpha_1(x_n) = nx_n$ である。
• 極限 $q \to 1$ において古典的ヴァラソロ代数が回復され、$q$-deformed ワイト代数は中心なしの場合に対応する。
• ホモリーアルジブラとしての $\frak{sl}_2(\bbK)$ の変形は非自明であり、剛体リーアルジブラがホモ代数のカテゴリにおいて非自明な変形を許容することを示している。
• ホモ構造 $\alpha_0(x_n) = 2x_n$ に関して、ワイト代数の第一コホロジー群は第一階層変形を分類し、$q$-変形はこの群内の非自明なコサイクルに対応する。