[論文レビュー] Notes on Hallgren's efficient quantum algorithm for solving Pell's equation

Richard Jozsa|ArXiv.org|Feb 18, 2003

Polynomial and algebraic computation参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、実数の上での無理数周期に対する一般化量子フーリエ変換を用いて、多項式時間でペル方程式を解くハルグレンの量子アルゴリズムについて、自己完結的かつ包括的な解説を提供する。レジスタ R = ln(A)（A は基本解）が量子コンピュータ上で効率的に計算可能であり、古典的な準指数的アルゴリズムよりも超多項式的高速化を達成する。この手法は、二次体の類群の計算や主理想問題の解決への応用を持つ。

ABSTRACT

Pell's equation is x^2-d*y^2=1 where d is a square-free integer and we seek positive integer solutions x,y>0. Let (x',y') be the smallest solution (i.e. having smallest A=x'+y'sqrt(d)). Lagrange showed that every solution can easily be constructed from A so given d it suffices to compute A. It is known that A can be exponentially large in d so just to write down A we need exponential time in the input size log d. Hence we introduce the regulator R=ln A and ask for the value of R to n decimal places. The best known classical algorithm has sub-exponential running time O(exp(sqrt(log d)), poly(n)). Hallgren's quantum algorithm gives the result in polynomial time O(poly(log d),poly(n)) with probability 1/poly(log d). The idea of the algorithm falls into two parts: using the formalism of algebraic number theory we convert the problem of solving Pell's equation into the problem of determining R as the period of a function on the real numbers. Then we generalise the quantum Fourier transform period finding algorithm to work in this situation of an irrational period on the (not finitely generated) abelian group of real numbers. These notes are intended to be accessible to a reader having no prior acquaintance with algebraic number theory; we give a self contained account of all the necessary concepts and we give elementary proofs of all the results needed. Then we go on to describe Hallgren's generalisation of the quantum period finding algorithm, which provides the efficient computational solution of Pell's equation in the above sense.

研究の動機と目的

• 代数的数論の前提知識を仮定せず、ハルグレンのペル方程式用量子アルゴリズムについて、自己完結的かつアクセス可能な紹介を提供すること。
• ペル方程式と実二次体のレジスタとの間の明確な関係を形式化することで、古典的数論と量子アルゴリズムのギャップを埋めること。
• 連続的アーベル群における周期探索を可能にするために、実数直線上の無理数周期に対応する量子フーリエ変換を一般化する方法を示すこと。
• レジスタの計算が、代数的数論における主理想問題や類群計算といった関連問題の効率的解決を可能にすることを示すこと。

提案手法

• ペル方程式の解が、Q(√d) の代数的整数環におけるノルム 1 の単数に一致することを用いて、問題を再定式化する。
• レジスタ R = ln(A) を基本単数 A の対数として特定し、R を n 桁の精度で推定することが目的となる。
• 削減された理想と削減作用素 ρ の構造を用いて、単数群を実数直線上の巡回的構造としてモデル化する。
• 実数直線上に、無理数周期 R を持つ周期関数 f(x) = e^{2πi x R} を構築し、これが周期探索の鍵となる。
• 標準的な周期探索手順を一般化し、実数上の超位置を用いて無理数周期に対応する量子フーリエ変換を適応する。
• 理想類群の構造と連分数近似を活用することで、多項式時間 O(poly(log d, poly(n))) で R の推定値を高い確率で出力する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子計算を用いてペル方程式を効率的に解くことは可能か？ もしそうなら、そのアルゴリズムの計算量はどの程度か？
• RQ2 標準的な量子周期探索アルゴリズムは、実数直線上の無理数周期に対応して拡張可能か？
• RQ3 代数的数論（特に理想と単数）は、この問題における量子高速化を可能にする役割を果たすか？
• RQ4 レジスタの計算は、主理想問題や類群計算といった代数的数論の基本的問題の解決に応用可能か？

主な発見

• ハルグレンの量子アルゴリズムは、実二次体 Q(√d) のレジスタ R を、多項式時間 O(poly(log d, poly(n))) の量子ゲート数で計算可能である。
• このアルゴリズムは、最良の既存古典的アルゴリズム（O(exp(√log d), poly(n)) 時間）よりも超多項式的高速化を達成する。
• 主な革新点は、連続的かつ非離散的な周期性を持つ関数の周期探索を可能にする、実数直線上の無理数周期に対する量子フーリエ変換の一般化である。
• レジスタの計算により、主理想問題（与えられた理想 I が主理想かどうかを判定し、生成元を特定する）が効率的に解けるようになる。
• このアルゴリズムは、Q(√d) の類群および類数の計算にも応用可能であり、代数的数論において基本的である。
• この手法は、理想と二次形式の対応関係に依拠し、削減作用素 ρ を用いて理想類群の構造を効率的に探索する。