[論文レビュー] Notes on nonlinear quantum algorithms

Marek Czachor|ArXiv.org|Feb 19, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、アブラムズとロイドが提唱した非線形量子アルゴリズムを検討し、その高速性が物理的に不自然な光速を超える信号伝達に依存しないことを示している。局所的でウィーンバーグの非線形性を避ける非線形力学を用いることで、著者は、探索問題において解の個数が0か正であるかを区別できることを示し、相対論的制約に反しない高速検出が可能であることを明らかにした。

ABSTRACT

Recenty Abrams and Lloyd have proposed a fast algorithm that is based on a nonlinear evolution of a state of a quantum computer. They have explicitly used the fact that nonlinear evolutions in Hilbert spaces do not conserve scalar products of states, and applied a description of separated systems taken from Weinberg's nonlinear quantum mechanics. On the other hand it is known that violation of orthogonality combined with the Weinberg-type description generates unphysical, arbitrarily fast influences between noninteracting systems. It was not therefore clear whether the algorithm is fast because arbitrarily fast unphysical effects are involved. In these notes I show that this is not the case. I analyze both algorithms proposed by Abrams and Lloyd on concrete, simple models of nonlinear evolution. The description I choose is known to be free of the unphysical influences (therefore it is not the Weinberg one). I show, in particular, that the correct local formalism allows even to simplify the algorithm.

研究の動機と目的

• 非線形量子アルゴリズムが、非相互作用系の間で物理的に不自然な光速を超える影響に依存しているのではという懸念を解消すること。
• アブラムズとロイドの非線形アルゴリズムにおける高速化が、このような物理的に不自然な効果に起因するのか、それとも妥当な非線形力学に起因するのかを検討すること。
• 因果的整合性を持つ非線形形式でも、依然として高速な量子アルゴリズムを実現できることを示すこと。
• 局所的でウィーンバーグの非線形性を避ける非線形進化モデルを用いて、アルゴリズムを簡略化・明確化すること。
• 非線形力学が、小さな s に対しても s=0 と s>0 を効果的に区別できることを示すこと。

提案手法

• 規範化を保ち、ウィーンバーグ形式の非局所性を避ける非線形シュレーディンガー型進化方程式を採用する。
• フラッグキュービットにのみ非線形力学を適用することで、局所性と因果性を確保する。
• 移動度型の進化を用い、|0⟩に近い状態は安定であり、重ね合わせ状態は|1⟩へと駆動されるため、非ゼロの解個数の検出が可能になる。
• 小さな結合パラメータ ε と、有効周波数 ωε,α ≈ ε を制御するパラメータ α を持つ時間に依存するハミルトニアンモデルを用いる。
• フラッグキュービットの期待値 ⟨σ₃⟩ の時間発展を分析し、s > 0 の場合にのみ振動的挙動を示すことを示す。
• フラッグキュービットで|1⟩を測定する確率を P(f=1) = s / 2ⁿ として導出し、小さな s に対して正しいスケーリングが得られることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形量子アルゴリズムは、物理的に不自然な光速を超える信号伝達効果を用いずに高速な性能を達成できるか？
• RQ2 アブラムズとロイドのアルゴリズムにおける非線形進化は、ウィーンバーグの非線形量子力学の非局所的特徴に依存しているか？
• RQ3 因果的整合性を持つ非線形形式でも、量子探索における非ゼロ解個数の高速検出が可能か？
• RQ4 非線形進化は、フラッグキュービットのような局所的対象に適用された場合にのみ有効か？
• RQ5 非線形進化は、小さなパrameterの摂動に対しても、s=0 と s>0 をどのように効果的に区別するのか？

主な発見

• アルゴリズムで用いられる非線形進化は、ウィーンバーグ形式を避けるため、非相互作用系の間で物理的に不自然な影響を生じさせない。
• アルゴリズムは s=0 と s>0 を正しく区別でき、s=0 の場合はフラッグキュービットの期待値 ⟨σ₃⟩ が常に 1 に保たれ、s>0 の場合は振動する。
• s>0 で η が小さい場合、フラッグキュービットの状態は周波数 ωε,α ≈ ε で進化し、測定時間は 1/ε の割合で短縮可能である。
• |1⟩ をフラッグキュービットで測定する確率は正確に s / 2ⁿ であり、スケーリングの正しさと非線形手法の妥当性が裏付けられる。
• 非線形力学は、フラッグキュービットに局所的に適用された場合でも有効であり、アルゴリズムを簡略化し、因果性を保つことができる。
• アルゴリズムの高速性は非局所的効果に起因するのではなく、非線形進化が s=0 と s>0 の間の差を強調できる能力に起因する。