[論文レビュー] Notes on planar semimodular lattices. I. Construction

George Grätzer, Edward Knapp|arXiv (Cornell University)|May 22, 2007

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 4被引用数 40

ひとこと要約

本稿では、有限平面半モジュラー格子をすべて生成する3段階の構成法を提示する。まず、2つの有限鎖の直積から左端および右端のコーナーを削除し、平面的分配的格子を形成する。次に、被覆を保存する結合準同型を適用する。最後に、4-cellの内部に二重に不可約な要素を追加する。主な貢献は、上に隣接する4-cellの対を用いた平面的半モジュラー格子の特徴付けと、逐次1ステップの拡張によって任意のそれらの格子を分配的格子に還元する構成的拡張定理である。

ABSTRACT

We construct all planar semimodular lattices in three simple steps from the direct product of two chains.

研究の動機と目的

• すべての有限平面的半モジュラー格子の完全で構成的な特徴付けを提供すること。
• 平面的半モジュラー格子と平面的分配的格子との間の明確な接続の欠如を解消するため、体系的な構成プロセスを導入すること。
• 2つの鎖の直積から出発し、コーナーの削除、準同型、セルの拡張を用いて、すべてのそれらの格子を生成するフレームワークを確立すること。
• 上に隣接する4-cellが半モジュラー性を決定し、格子の拡張を可能にする役割を形式化すること。

提案手法

• 2つの有限鎖の直積から左および右のコーナー（空である可能性あり）を削除することで、平面的分配的格子を構成する。
• 分配的格子に被覆を保存する結合準同型を適用し、平面的半モジュラー格子を生成する。
• 4-cellの内部に二重に不可約な要素を導入し、格子を拡張しながら半モジュラー性を保持する。
• 同じユニットを共有し、共通の上位被覆を持つという性質を持つ上に隣接する4-cellの概念を用い、拡張プロセスをガイドする。
• 上に隣接するペアの数を減少させる1ステップの拡張プロセスを定義し、分配的基底からの反復的再構成を可能にする。
• 構造的および順序論的議論を用いて、結果の格子が平面的かつスリムで、半モジュラーであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有限平面的半モジュラー格子は、2つの鎖の直積からどのように体系的に構成可能か？
• RQ2 4-cellに要素を追加した後も、平面的格子が半モジュラーのままであるための構造的条件は何か？
• RQ3 上に隣接する4-cellは、半モジュラー性および格子の拡張可能性にどのように影響を与えるか？
• RQ4 被覆を保存する結合準同型は、分配的格子と半モジュラー格子をどのように結びつけるか？
• RQ5 すべての平面的半モジュラー格子は、1ステップの拡張の系列によって平面的分配的格子に還元可能か？

主な発見

• すべての有限平面的半モジュラー格子は、3段階の手順で構成可能である：2つの鎖の直積からのコーナーの削除、被覆を保存する結合準同型の適用、4-cellの内部への拡張。
• 平面的半モジュラー格子は4-cell格子であり、任意の2つのセルが共通のゼロを共有するならば、同じユニットを共有するときかつそのときに限り、半モジュラーである。
• 1ステップの拡張ごとに、上に隣接する4-cellペアの数は厳密に減少するため、有限ステップで終了することが保証される。
• 拡張プロセスは可逆である：すべての平面的半モジュラー格子は、平面的分配的格子からの被覆を保存する結合準同型の像として得られる。
• 拡張の系列における最終格子は分配的である。なぜなら、上に隣接する4-cellペアが存在せず、かつスリムであるからである。
• 構造的および順序論的不変量を用いて、すべての段階で平面性と半モジュラー性が保持されることを証明した。