[論文レビュー] Notes on Propagation of 3D Buoyant Fluid-Driven Cracks

Dmitry Garagash, L. N. Germanovich|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2022

Hydraulic Fracturing and Reservoir Analysis被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、浮力および流体駆動クラック（ダイク）の3次元力学的モデルを構築し、破壊靭性に支配される静水的頭部によって自己的に破壊幅が決定されるのと同時に、粘性尾部が伝播ダイナミクスを支配することを明らかにした。主な貢献は、岩石の靭性と浮力に依存するダイク幅の閉形式解を導出し、有限な流体体積からの3次元ダイク幾何学的形状と伝播を正確に予測可能にすることにある。

ABSTRACT

Magma-driven fractures are the main mechanism for magma emplacement in the crust. A fundamental question is how the released fluid controls the propagation dynamics and fracture geometry (depth and breadth) in three dimensions. Analog experiments in gelatin have shown that fracture breadth remains nearly stationary when the process in the fracture head (where breadth is controlled) is dominated by solid toughness, whereas viscous fluid dissipation is dominant in the fracture tail. We model propagation of the resulting buoyant, finger-like fracture of stationary breadth with a slowly varying opening along the crack length. The elastic response to fluid loading in a horizontal cross-section is local and can be treated similarly to the classical Perkins-Kern-Nordgren (PKN) model of hydraulic fracturing. The propagation condition for a finger-like crack is based on balancing the global energy release rate due to a unit crack extension with the rock fracture toughness. It allows us to relate the net fluid pressure at the tip to the fracture breadth and rock toughness. Unlike laterally propagating PKN fracture, where breadth is known a priori, the final breadth of a finger-like vertically ascending fracture is a result of processes in the fracture head. Because the head is much more open than the tail, viscous pressure drop in the head can be neglected leading to a 3D analog of Weertman hydrostatic pulse. This requires relaxing the local elasticity assumption of the PKN model in the fracture head. As a result, we resolve the breadth, and then match the viscosity-dominated tail with the three dimensions, toughness-dominated head to obtain a complete closed-form solution. We then analyze the buoyancy-driven fracture propagation in conditions of either continuous injection or finite volume release for sets of parameters representative of low viscosity magma diking.

研究の動機と目的

• 破壊靭性が支配する静水的頭部によって決定されるが、事前に指定されない破壊幅を持つ浮力的・流体駆動クラックの3次元幾何学を解明すること。
• 3次元ダイクにおいて、破壊靭性に支配される静水的頭部から、粘性に支配される伝播支配尾部への遷移をモデル化すること。
• 有限な流体体積注入を考慮した、ダイク幅および伝播ダイナミクスの閉形式解を提供すること。
• 定常的注入または固定体積放出を伴うゲラチンダイクを用いた3次元実験と比較して、モデルを検証すること。
• 固定体積条件下でダイク伝播が停止する条件を明らかにし、頭部が全流体体積を消費する場合を除き、伝播は停止しないが遅延することを示すこと。

提案手法

• 弾性、流体圧、破壊靭性に支配される可変幅および可変長の浮力的流体駆動クラックの3次元モデルを構築する。
• 粘性尾部に対してPKNに類似した近似を適用し、幅が一定で、弾性的相互作用が無視できるものと仮定する。
• 破壊頭部に対して、Weertmanの静水的パルスの3次元アナログを構築し、全エネルギーバランスを用いて定常的幅を解く。
• 破壊靭性に支配される頭部解と、粘性に支配される尾部解を一致させ、自己的・一貫性のある3次元ダイク解を構築する。
• 漸近解析を用いて、頭部（静水的、高開口）および尾部（薄い、粘性流れ支配）領域の明示的解を導出する。
• ゲラチンダイクからの実験データと予測されたダイク幅および開口プロファイルを比較することで、モデルを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元浮力ダイクの破壊幅は、伝播中にどのように自己組織化され、その最終値はどのような要因によって制御されるか？
• RQ2 指状ダイクの終端幅を決定する静水的頭部の役割は何か？2次元平面応力モデルとはどのように異なるか？
• RQ3 有限な流体体積条件下で、粘性尾部はどのようにダイク伝播ダイナミクスを支配するか？
• RQ4 3次元頭部解を用いて補正された2次元PKNモデルは、3次元ダイク挙動をどの程度正確に近似できるか？
• RQ5 ダイクが停止する条件は何か？また、頭部と尾部への流体体積の分配は伝播にどのように影響するか？

主な発見

• 3次元浮力ダイクの破壊幅は、破壊靭性に支配される静水的頭部によって決定され、閉形式解が得られる：$ b_* = 0.396 (\bar{K}/\rho g)^{2/3} $。
• 3次元静水的頭部解は、Weertmanの2次元パルスの3次元アナログであり、正規化体積は0.515であり、2次元ケースとよく一致する。
• 粘性尾部解は $ \tilde{\rho} \tilde{t}^{1/3} $ のスケーリングを示し、流体体積が頭部容量を超えるとダイク長さはゆっくりと増加する。
• 固定体積注入条件下では、ダイク伝播は遅くなるが、全流体体積が頭部に消費され、尾部形成が不可能でない限り、停止しない。
• 2次元PKNモデルは、3次元で導出された幅 $ b_* $ を入力とすれば、3次元挙動を良好に近似できる。
• 実験的ゲラチンダイクは理論的幅予測とよく一致するが、タンクの壁付近では境界効果が精度を低下させる可能性がある。