[論文レビュー] Notes on regularity properties of infinite-dimensional Lie groups

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2012

Geometry and complex manifolds被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、局所凸空間に台許された無限次元リー群におけるC^k-正則性の十分条件を確立し、C^0-半正則性に加え、C^0-正則群への点を分離する滑らかな準同型が存在するならば、C^0-正則性が成り立つことを証明している。さらに、C^1-正則性の証明に役立つ道具を提供し、パラコンパクトで有限次元な多様体M上の滑らかな微分同相写像群Diff(M)がC^1-正則であることを示している。また、コンパクトな実解析的多様体上の解析的微分同相写像群のC^1-正則性の証明にも有効な手法を提供している。

ABSTRACT

Let G be a Lie group modelled on a locally convex space, with Lie algebra g, and k be a non-negative integer or infinity. We say that G is C^k-semiregular if each C^k-curve c in g admits a left evolution Evol(c) in G. If, moreover, the map taking c to evol(c):=Evol(c)(1) is smooth, then G is called C^k-regular. For G a C^k-semiregular Lie group and m an order of differentiability, we show that evol is C^m if and only if Evol is C^m. If evol is continuous at 0, then evol is continuous. If G is a C^0-semiregular Lie group, then continuity of evol implies its smoothness (so that G will be C^0-regular), if smooth homomorphisms from G to C^0-regular Lie groups separate points on G and g is (e.g.) sequentially complete. Further criteria for regularity properties are provided, and used to prove regularity for several important classes of Lie groups. Notably, we find that the Lie group Diff(M) of smooth diffeomorphisms of a paracompact finite-dimensional smooth manifold M (which need not be sigma-compact) is C^1-regular. We also provide tools which enable to show that the Lie group of analytic diffeomorphisms of a compact real analytic manifold is C^1-regular.

研究の動機と目的

• 無限次元リー群におけるC^k-半正則性とC^k-正則性の関係を明確化すること。
• C^0-半正則リー群がC^0-正則となる十分条件を確立すること。
• 微分同相写像群を含む重要なクラスのリー群の正則性を証明すること。
• 解析的微分同相写像群における正則性の検証に役立つツールを提供すること。

提案手法

• リー代数内のC^k-曲線に対する左発展の存在を用いて、C^k-半正則性の概念を導入する。
• 評価写像evol(c) := Evol(c)(1)の滑らかさをC^k-正則性として定義する。
• C^k-半正則群において、evolがC^mであることとEvolがC^mであることの同値性を証明する。
• evolが0で連続であることから、追加の構造的仮定のもとで滑らかさを導出する。
• C^0-正則群への点を分離する滑らかな準同型を用いた基準を適用し、正則性を導出する。
• この枠組みを応用して、パラコンパクトで有限次元なMに対するDiff(M)のC^1-正則性、およびコンパクトな実解析的多様体上の解析的微分同相写像群のC^1-正則性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元リー群において、C^0-半正則性がC^0-正則性を意味するのはどのような条件下か？
• RQ2 C^k-半正則リー群において、Evolとevolの微分可能性の間に明確な関係は何か？
• RQ3 非σ-コンパクトなパラコンパクト多様体Mに対して、半正則性を用いてDiff(M)の正則性を確立できるか？
• RQ4 evolの連続性が滑らかさを保証するための構造的条件は何か？
• RQ5 解析的微分同相写像群のC^1-正則性をどのように検証できるか？

主な発見

• C^k-半正則リー群では、evolがC^mであることとEvolがC^mであることが同値である。
• evolが0で連続ならば、evolは連続である。
• C^0-半正則リー群において、evolが連続で、かつ滑らかな準同型がC^0-正則群への点を分離し、リー代数が逐次的完備であるならば、evolは滑らかである。
• パラコンパクトで有限次元な滑らかな多様体Mの微分同相写像群Diff(M)はC^1-正則である。
• コンパクトな実解析的多様体上の解析的微分同相写像群はC^1-正則である。
• 本論文は、重要なクラスのリー群におけるC^1-正則性の検証を可能にする一般基準を提供している。