[論文レビュー] Notes on Schubert classes of a loop group

Péter Magyar|ArXiv.org|May 25, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、ボットによるホモロジー環 $H_*(\Omega K)$ のポーントリャーギン環としての実現、すなわち $H_*(K/T)$ 上の対称代数としての記述を用いて、ループ群 $\Omega K$ 内のアフィンシューベルトホモロジー類を位相的アプローチで計算する手法を提示する。主な結果として、(1) アフィンウェイル群における弱順序を用いたシューベルト類の因数分解性、(2) デムズキー作用素を用いた全型にわたるグローバルなアフィンシューベルト多項式の定義（通常のシューベルト多項式と類似）を示し、特に $\mathrm{SL}_n\mathbb{C}$ に対して明示的な公式を与える。

ABSTRACT

In these notes, we survey the homology of the loop group Omega(K) of a compact group K, also known as the affine Grassmannian of a complex loop group. Using the Bott picture of H_*(Omega(K)), the homology algebra or Pontryagin ring, we obtain two new results: A. Factorization of affine Schubert homology classes. B. Definition of affine Schubert polynomials representing the affine Schubert homology classes in all types, in terms similar to ordinary Schubert polynomials.

研究の動機と目的

• アフィングラスマンニアン $\widehat{\mathrm{Gr}} \cong \Omega K$ 内のホモロジー類を有理ホモロジーを用いて計算するための位相的枠組みを提供すること。
• ボット＝サマエルゾン多様体の直積構造を活用して、アフィンシューベルト類の因数分解性を同定すること。
• デムズキー作用素を用いて、$H_*(\Omega K)$ 内のシューベルト類を表すアフィンシューベルト多項式を、通常のシューベルト多項式と同様に全型にわたってグローバルに定義すること。
• 有理ホモロジーが「フラッピー」な同変K理論やデムズキー加群に類似することを示し、位相的および代数的視点を統合すること。
• $\mathrm{SL}_n$ を超えて、任意の simply connected simple 代数的群へ理論を拡張すること。$\mathrm{SL}_n$ に対して明示的な公式を与えること。

提案手法

• コンパクト群の位相的柔軟性を活かし、$H_*(\Omega K)$ を $H_*(K/T)$ 上の対称代数として実現するボットの構成を用いる。
• アフィンウェイル群 $\widehat{W}$ 上の弱順序を用いて、左および右順序関係を介したシューベルト類の因数分解を特徴付ける。
• 通常のシューベルト多項式の構成を模倣し、$H^*(K/T)$ のボエル像にデムズキー作用素を作用させることでアフィンシューベルト多項式を定義する。
• コウェイト格子 $P^\vee$ が基本チャネル上に作用する様子を用い、条件 ${{}^\wedge t}_\lambda \stackrel{\mathrm{R}}{\leq} x^{-1}$ を満たす最大のコウェイト $\lambda$ を特定する。
• Schubert類をグローバルに表現するための公式 $\lambda = \lfloor \langle \alpha_i, y(\epsilon) \rangle \rfloor \varpi^\vee_i$ を用いる（$y = x^{-1}$ で、$\epsilon$ は基本アルコーブ内部に位置する）。
• 有理ホモロジーを全般に用いるが、分母の扱いに注意すれば整数係数に精錬可能であることを指摘する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィンウェイル群における弱順序を用いて、$\Omega K$ 内のアフィンシューベルトホモロジー類はどのように因数分解可能か？
• RQ2 デムズキー作用素を用いて、通常のシューベルト多項式と類似する形で、全型にわたってグローバルに定義可能なアフィンシューベルト多項式は存在するか？
• RQ3 シューベルト類の因数分解と、コウェイト格子が基本チャネル上に作用する関係の正確な関係は何か？
• RQ4 $\Omega K$ の位相的構造は、代数的設定と比較してシューベルト類の構成をどの程度簡素化するか？
• RQ5 本稿で構築されたアフィンシューベルト多項式は、ラポインティエ＝モールの制限付きシュール多項式など、他の既知の基底とどの程度一致するか？

主な発見

• アフィンシューベルト類 $H_*(\Omega K)$ は弱順序に従って因数分解可能である：$x = y \cdot z$ かつ $\ell(x) = \ell(y) + \ell(z)$ であるための必要十分条件は、$x \stackrel{\mathrm{L}}{\leq} z$ または $x \stackrel{\mathrm{R}}{\leq} y$ である。
• 条件 ${{}^\wedge t}_\lambda \stackrel{\mathrm{R}}{\leq} x^{-1}$ を満たす $P^\vee_+$ 内の最大のコウェイト $\lambda$ は、$\lambda = \sum_i \lfloor \langle \alpha_i, y(\varepsilon) \rangle \rfloor \varpi^\vee_i$ で与えられる（$y = x^{-1}$、$\varepsilon$ は基本アルコーブ内部に位置する）。
• アフィンシューベルト多項式は、$H^*(K/T)$ のボエル像にデムズキー作用素を作用させることで、通常のシューベルト多項式の構成を一般化した形でグローバルに定義される。
• $G = \mathrm{SL}_n\mathbb{C}$ の場合、構築されたアフィンシューベルト多項式は、ラムによって示されるように、ラポインティエ＝モールの制限付きシュール多項式と一致する。
• ポーントリャーギン環 $H_*(\Omega K)$ は、$H_*(K/T)$ 上の対称代数として実現可能であり、これにより標準的なシューベルト多項式の技法を用いてシューベルト類を体系的に計算可能である。
• コンパクト群を用いた位相的アプローチは、代数的設定に比べてより柔軟性に富んでおり、ボット＝サマエルゾン多様体を位相的に直積として扱える（代数的には非自明なファイブレーションであるが）。