[論文レビュー] Notes on Simple Modules over Leavitt Path Algebras

Kulumani M. Rangaswamy|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、任意の有向グラフ $E$ の無限発信頂点を用いて、Leavitt ルート代数 $L_K(E)$ 上の新しい単純左 $L_K(E)$-加群のクラスを導入し、その消滅原始イデアルを構成し、冪等元のブール部分環を用いて非同型な単純加群の数の上限と下限を提供する。主な結果として、$L_K(E)$ が可算次元かつ単純である場合、その単純加群の同型類はちょうど1つまたは少なくとも $2^{\aleph_0}$ 個存在することが示される。

ABSTRACT

Given an arbitrary graph E and any field K, a new class of simple left modules over the Leavitt path algebra L of the graph E over K is constructed by using vertices that emit infinitely many edges. The corresponding annihilating primitive ideals are described and is used to show that these new class of simple L-modules are different from(that is non-isomorphic to) any of the previously known simple modules. Using a Boolean subring of idempotents induced by paths in E, bounds for the cardinality of the set of distinct isomorphism classes of simple L-modules are given. We also append other information about the Leavitt path algebra L(E) of a finite graph E over which every simple left module is finitely presented.

研究の動機と目的

• 有向グラフ $E$ の中に無限に多くの辺を発信する頂点を用いて、新しい単純左 $L_K(E)$-加群を構成すること。
• これらの新しい単純加群の消滅原始イデアルを記述し、それらが既知のクラスとは同型でないことを示すこと。
• 可換冪等元からなるブール部分環を用いて、非同型な単純 $L_K(E)$-加群の集合の濃度に対する上限と下限を確立すること。
• すべての単純加群が有限生成であるような Leavitt ルート代数に関する結果を精緻化・簡略化すること、特に有限グラフの場合に焦点を当てる。

提案手法

• 無限発信頂点から出発するパスで生成されるベクトル空間に作用を定義することで、新しい単純 $L_K(E)$-加群を構成する。
• グラフの構造と $L_K(E)$ 内の CK-1 および CK-2 関係を用いて、加群作用を一貫して定義する。
• Rosenberg の手法を適用し、各同型類のサイズが $L_K(E)$ の濃度以下であることを示す。
• パスによって生成される $L_K(E)$ 内の可換冪等元のブール部分環を活用し、非同型な単純加群の数に対する下限を得る。
• [6] および [12] の技術を応用し、すべての単純加群が有限生成である場合の $L_K(E)$ の構造を分析する。
• 強制的飽和部分集合 $H_n$ に関する帰納法を用いて、階層的イデアル $I_n$ の鎖を構築し、商代数 $L/I_n$ を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフ $E$ の無限発信頂点を用いて、$L_K(E)$ 上の新しい単純加群のクラスを構成できるか？
• RQ2 これらの新しい単純加群の消滅原始イデアルは、既存の単純加群とは異なっているか？
• RQ3 非同型な単純 $L_K(E)$-加群の数に対する上限と下限は何か？また、それらはグラフ構造にどのように依存するか？
• RQ4 すべての単純 $L_K(E)$-加群が有限生成であるような条件は何か？そのとき $L_K(E)$ が持つ構造的性質は何か？

主な発見

• 無限発信頂点を用いて、新しい単純左 $L_K(E)$-加群のクラスが構成され、その消滅原始イデアルが明示的に記述された。
• これらの新しい単純加群は、[10]、[12]、[14] で構成された任意の単純加群とは同型でないことが示され、その新規性が確立された。
• Rosenberg の手法により、任意の単純 $L_K(E)$-加群の同型類の濃度は $|L_K(E)|$ 以下であることが示された。
• $L_K(E)$ 内の可換冪等元のブール部分環を用いて、非同型な単純加群の数に対する下限が導出された。
• もし $L_K(E)$ が可算次元かつ単純な代数であれば、その単純加群の同型類はちょうど1つまたは少なくとも $2^{\aleph_0}$ 個存在する。
• 有限グラフ $E$ に対して、すべての単純 $L_K(E)$-加群が有限生成であれば、$L_K(E)$ は $I_n$ の階層的イデアルの鎖を持ち、商代数は $K$ または $K[x,x^{-1}]$ 上の行列代数と同型であり、すべての極大左イデアルは単生成である。