[論文レビュー] Notes on simplicial BF theory

Pavel Mnëv|ArXiv.org|Oct 31, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、三角形分割された多様体上の単体的BF理論を構築し、バタリン＝ヴィルコビス（BV）形式およびホモトピー代数を用いて、位相的BF理論と等価な有限次元場理論を構成する。単体上の有効作用がコホモロジー上に$L_\infty$代数構造を生成することを確立し、次元2および3における発散するスーパートレースの正則化により摂動的有限性を確認した。

ABSTRACT

In this work we discuss the construction of "simplicial BF theory", the field theory with finite-dimensional space of fields, associated to a triangulated manifold, that is in a sense equivalent to topological BF theory on the manifold (with infinite-dimensional space of fields). This is done in framework of simplicial program - program of constructing discrete topological field theories. We also discuss the relation of these constructions to homotopy algebra.

研究の動機と目的

• 三角形分割された多様体上での位相的BF理論と等価な有限次元単体的BF理論を構築すること。
• BV統合とチェーンホモトピーを用いて、三角形分割上での拡張BF理論の有効作用を定式化すること。
• 木レベルの有効作用がコホモロジー上に$L_\infty$代数構造を生成することを示し、摂動的有限性を確認すること。
• カットオフおよび$K_\epsilon$正則化を用いて1ループ計算における発散するスーパートレースを正則化し、次元2および3で有限な結果が得られることを保証すること。

提案手法

• 場を多様体上の超形式とする拡張BF理論を定義するためにバタリン＝ヴィルコビス形式を用いる。
• デ・ラーム複体$\Omega(M)$と三角形分割$\Xi$上のホイットニー複体$\Omega_W(\Xi)$を結ぶために、チェーンホモトピー（デュポンの構成）を適用する。
• 有効作用の因子分解により、BV経路積分を単一の単体上の有限次元積分に削減する。
• BV積分の摂動的展開を用いて、単体上の木および1ループ有効作用を計算する。
• 発散するモノドロミー行列のスーパートレースを処理するために$K_\epsilon$チェーンホモトピーによる正則化を用いる。
• BV積分における期待値写像を用いて、元の理論と縮約理論の間の$L_\infty$準同型を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三角形分割された多様体上での位相的BF理論と等価な有限次元単体的BF理論を構築可能か？
• RQ2 単体上の有効作用がコホモロジー上に$L_\infty$代数構造をどのように符号化するか？
• RQ3 1ループ計算における発散するスーパートレースは正則化後、有限になるか？
• RQ4 2単体上の木レベル有効作用の明示的形は何か？また、単体的曲率とどのように関係するか？
• RQ5 1ループ有効作用は摂動的に計算可能であり、次元2および3で有限であることが示せるか？

主な発見

• 2単体上の木レベル有効作用は、コホモロジー上に非自明な$L_\infty$代数構造を生成し、$\mathcal{O}(\omega^4)$まで明示的な項が得られた。
• 2単体上の1ループ有効作用は正則化後、有限であり、係数$\mathcal{A}_2 = -1/36$、$\mathcal{B}_2 = 1/270$を有する。
• 3単体上の1ループ有効作用も、$K_\epsilon$正則化のもとで有限であり、潜在的な線形発散にもかかわらず成立する。
• 次元2において、0形式および1形式ごとのモノドロミー行列のスーパートレースは発散するが、合計スーパートレースではキャンセルされる。
• 2単体上の縮約有効作用は、接続およびそれらの非アーベル補正を含む単体的曲率式を再現する。
• $K \to K_\epsilon$の正則化は、単項式基底および座標基底の両方で一貫した結果をもたらし、1ループ振幅の有限性を確認した。