[論文レビュー] Notes on the arithmetic of Hilbert modular forms

A. Raghuram, Naomi Tanabe|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、正則代数的尖点保型表現の周期関係を用いて、正則ハイルブルトモジュラー形式に付随する標準L関数の臨界値に関する志村の定理の新しい証明を提供する。中心臨界値を適切な$2\pi i$のべきおよび周期で割ったものは、表現の有理整域に属し、保型的ガロア同値性を満たす。また、ハイルブルトモジュラー形式と完全実体上の$\mathrm{GL}_2$保型表現との間の明確な辞書を通じて、古典的周期$u(r,\mathbf{f})$とコhomological周期$p^\epsilon(\Pi)$を結びつけ、狭義類数が1でない場合でも成り立つ自己完備的かつ算術的に整合性のある辞書を構築する。

ABSTRACT

The purpose of this semi-expository article is to give another proof of a classical theorem of Shimura on the critical values of the standard L-function attached to a Hilbert modular form. Our proof is along the lines of previous work of Harder and Hida (independently). What is different is an organizational principle based on the period relations proved by Raghuram and Shahidi for periods attached to regular algebraic cuspidal automorphic representations. The point of view taken in this article is that one need only prove an algebraicity theorem for the most interesting L-value, namely, the central critical value of the L-function of a sufficiently general type of a cuspidal automorphic representation. The period relations mentioned above then gives us a result for all critical values. To transcribe such a result into a more classical context we also discuss the arithmetic properties of the dictionary between holomorphic Hilbert modular forms and automorphic representations of GL(2) over a totally real number field F.

研究の動機と目的

• ハイルブルトモジュラー形式の標準L関数の臨界値に関する志村の定理の、コhomologicalな根拠に基づく代替的証明を提供すること。
• 正則代数的尖点保型表現の文脈において、周期関係を通じて中心臨界値のガロア同値性を確立すること。
• 任意の完全実体$F$に対して成り立つ、正則ハイルブルトモジュラー形式と$\mathrm{GL}_2(\mathbb{A}_F)$の正則代数的尖点保型表現との間の自己完備的かつ算術的に整合性のある辞書を構築すること。
• 古典的周期$u(r,\mathbf{f})$とコhomological周期$p^\epsilon(\Pi)$の関係を明確にし、ガロア作用およびねじれの下での整合性を示すこと。

提案手法

• Raghuram-Shahidiの周期関係を用いて、コhomological周期$p^\epsilon(\Pi)$を$L$-値のガロア共役に結びつける。
• 任意の完全実体$F$に対して有効な、正則ハイルブルトモジュラー形式と$\mathrm{GL}_2(\mathbb{A}_F)$の正則代数的尖点保型表現との間の辞書の応用。
• Whittakerモデルおよび$\Pi_f$のコhomological実現における有理構造の構成を通じて、周期$p^\epsilon(\Pi)$の定義を導く。
• ガロア同値性の確立：$\sigma\left(\frac{L_f(1/2,\Pi)}{(2\pi i)^{d_\infty} p^{(+,\dots,+)}(\Pi)}\right) = \frac{L_f(1/2,{}^\sigma\Pi)}{(2\pi i)^{d_\infty} p^{(+,\dots,+)}({}^\sigma\Pi)}$。
• 偶数重さの条件下で、$p^{++}(\Pi(\mathbf{f})) \sim (2\pi i)^{\sum_j (k_0 - k_j)/2} u(++, \mathbf{f})$という関係を導出し、古典的周期とコhomological周期を結びつける。
• 代数的ヘッケキャラクターによるねじれを用いて、周期関係を奇数重さおよびすべての符号$\epsilon \in (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイルブルトモジュラー形式の$L$-関数の臨界値に関する志村の定理を、コhomologicalな保型的周期とガロア同値性を用いて再証明する方法は何か？
• RQ2 古典的周期$u(r,\mathbf{f})$と保型表現に関連するコhomological周期$p^\epsilon(\Pi)$との間の明確な関係は何か？
• RQ3 完全実体上のハイルブルトモジュラー形式と$\mathrm{GL}_2$保型表現との間の辞書は、$\mathrm{Aut}(\mathbb{C})$の作用と整合性を持つのか？
• RQ4 代数的ヘッケキャラクターによるねじれの下で周期はどのように変化するのか？また、これはねじれた$L$-関数の臨界値とどのように関係するか？
• RQ5 中心臨界値$L_f(1/2, \Pi)$の算術的意味は、有理整域と周期の観点からどのように解釈できるか？

主な発見

• 中心臨界値$L_f(1/2, \Pi)$を$(2\pi i)^{d_\infty} p^{(+,\dots,+)}(\Pi)$で割ったものは、有理整域$\mathbb{Q}(\Pi)$に属し、すべての$\sigma \in \mathrm{Aut}(\mathbb{C})$に対してガロア同値性が成り立つ。
• コhomological周期$p^{++}(\Pi(\mathbf{f}))$は、古典的周期$u(++, \mathbf{f})$と$ p^{++}(\Pi(\mathbf{f})) \sim (2\pi i)^{\sum_j (k_0 - k_j)/2} u(++, \mathbf{f}) $の関係にある。ここで$\sim$は$\mathbb{Q}(\mathbf{f})^*$の元による乗法的違いを意味する。
• ハイルブルトモジュラー形式$\mathbf{f}$の有理整域$\mathbb{Q}(\mathbf{f})$は、関連する保型表現$\Pi(\mathbf{f})$の有理整域$\mathbb{Q}(\Pi(\mathbf{f}))$と一致する。
• 任意の$\epsilon \in (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$に対して、周期$p^\epsilon(\Pi)$は、ヘッケキャラクターによるねじれの下で$u(\epsilon, \mathbf{f})$と同様のガロア同値性を満たす。
• 周期関係は、代数的ヘッケキャラクターによるねじれを用いて奇数重さに拡張され、偶数重さの場合と同じ形式的構造を保つ。
• ハイルブルトモジュラー形式と$\mathrm{GL}_2$保型表現との間の辞書は、$F$の狭義類数が1でない場合でも、$\mathrm{Aut}(\mathbb{C})$-同値性を満たす。