[論文レビュー] Notes on the historical bibliography of the gamma function

Ricardo Pérez-Marco|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ガンマ関数の歴史的訂正と文献概要を詳細に提供し、従来の帰属よりも以前の出典にさかのぼる基礎的結果をたどる。ハダマール積、マルムステンの公式、ガウスの乗法公式といった重要な公式を、エーラー、ビネット、シュレーミルヒに再帰属させ、一般的な帰属に疑問を呈し、特殊関数および数学解析分野の研究者を対象に包括的かつ註記付きの文献目録を提示する。

ABSTRACT

Telegraphic notes on the historical bibliography of the Gamma function and Eulerian integrals. Correction to some classical references. Some topics of the interest of the author. We provide some extensive (but not exhaustive) bibliography. Feedback is welcome, notes will be updated and some references need completion.

研究の動機と目的

• ガンマ関数および関連する特殊関数の歴史的文献における長年の誤帰属を是正すること。
• ガンマ関数に関する基礎的文献を包括的かつ註記付きで提示し、主に原典を重視し、古典的参考文献の是正を図ること。
• ワイエルシュトラス積、マルムステンの公式、ラプラス積分といった重要な公式の起源を、エーラー、ビネット、その他の人物の以前の業績にさかのぼって明確にすること。
• 特に関数方程式、積分表現、および積分公式に関して、ガンマ関数の発展に関する学術的記録を更新・精錬すること。
• フィードバックと将来のアップデートを歓迎することで、研究者にとっての動的リファレンスとして機能させ、ガンマ関数の歴史的記録の正確性を保証すること。

提案手法

• 数学解析分野の古典的参考文献、特にホイッターやワットソン、ノーリュンド、レムメルトの文献を厳密に再検討すること。
• 原典を用いて再帰属を行う。エーラー（1770, 1785, 1789）、ビネット（1839）、シュレーミルヒ（1843）、マルムステン（1846）など、後に帰属された公式を、当初の発見者に再帰属すること。
• ガンマ関数の関数的および積分的定義を分析し、エーラーのオリジナル積分と現代の形、ワイエルシュトラスの積表示を比較すること。
• 特徴づけ定理（例えば、ボール＝モラップ、ヴィーラント、プリム）を適用し、一意性条件および関数的性質を明確にすること。
• ワイエルシュトラスの因子的関数とブールゲット関数がガンマ関数理論に果たす役割を検討し、差分方程式および整関数と結びつけること。
• 級数展開（スターリング、マルムステン、エルミート）および補間法（ハダマールの階乗関数の補間）の歴史的発展をレビューすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハダマール＝ワイエルシュトラス積公式の真の発案者は誰であり、なぜそれがしばしばワイエルシュトラスに誤って帰属されているのか？
• RQ2 マルムステンの公式、ラプラス積分、ガウスの乗法公式といった重要な公式は、エーラーによってどの程度既に知られていたのか？
• RQ3 関数方程式および漸近的挙動がガンマ関数をどのように特徴づけ、その特徴づけに必要な最小限の条件は何か？
• RQ4 ワイエルシュトラスの因子的関数の歴史的ルーツは何か？ガンマ関数およびバーンズ関数理論におけるその役割は？
• RQ5 フラランニ積分やクーマーの三角関数展開といった特定の公式が、なぜ後続の数学者に誤って帰属されているのか？

主な発見

• オイラーが1770年にすでにオイラー・マスケローニ定数の積分表現を知っていたことが判明し、ディリクレが1836年に帰属したのより前であった。
• ガンマ関数のハダマール＝ワイエルシュトラス積公式は、1843年にシュレーミルヒによって初めて導出されたが、ワイエルシュトラスが後に広めたにすぎない。
• 対数ガンマ関数のマルムステンの公式は、1839年にビネットによってすでに予見されており、プラナによっても可能性があるが、標準的な帰属であるマルムステン（1849年）とは異なる。
• ガンマ関数のガウス乗法公式は、1740年代にエーラーの業績にすでに存在していたが、ガウスの1812年の定式化に限られるという見解は誤りである。
• ガンマ関数のラプラス積分表現は、1782年にエーラーによって確立されており、一般的に引用される1812年のラプラスの業績よりも前であった。
• クーマーの三角関数展開は、1846年にマルムステンによって発見され、1847年のクーマーの出版より1年前に発表されたため、標準的な帰属よりも前であった。