[論文レビュー] Notes on the Schwarzian tensor and measured foliations at infinity of quasifuchsian manifolds

Jean‐Marc Schlenker|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、擬フックス多様体の正規化体積の変分公式を、無限遠における測度付き分岐の極値長さを用いて確立し、双対ボナホン＝シュレーフリの公式と類似する構造を提示する。無限遠における全純な二次微分形式を導入し、ポアンカレ＝アインシュタイン計量と水平超球面の幾何学を介して、高次元への構造の拡張を図る。また、無限遠における第二基本形式を通じて、線形ウェインガルテン曲面とモンジュ＝アンペール方程式の関係を明確にする。

ABSTRACT

The boundary at infinity of a quasifuchsian hyperbolic manifold is equiped with a holomorphic quadratic differential. Its horizontal measured foliation $f$ can be interpreted as the natural analog of the measured bending lamination on the boundary of the convex core. This analogy leads to a number of questions. We provide a variation formula for the renormalized volume in terms of the extremal length $\ext(f)$ of $f$, and an upper bound on $\ext(f)$. We then describe two extensions of the holomorphic quadratic differential at infinity, both valid in higher dimensions. One is in terms of Poincaré-Einstein metrics, the other (specifically for conformally flat structures) of the second fundamental form of a hypersurface in a "constant curvature" space with a degenerate metric, interpreted as the space of horospheres in hyperbolic space. This clarifies a relation between linear Weingarten surfaces in hyperbolic manifolds and Monge-Ampère equations.

研究の動機と目的

• 擬フックス多様体の正規化体積の変分公式を、無限遠における測度付き分岐の極値長さを用いて確立すること。
• 無限遠における測度付き分岐と凸核境界における測度付き湾曲リーマンの類似構造を明らかにすること。
• ポアンカレ＝アインシュタイン計量と水平超球面の幾何学を用いて、無限遠における全純な二次微分形式を高次元に拡張すること。
• ハイパボリック多様体における線形ウェインガルテン曲面とモンジュ＝アンペール方程式の解との関係を、無限遠における第二基本形式を通じて明確にすること。

提案手法

• 測度付き分岐の極値長さの微分を含む、正規化体積の第一順変動公式を導出する。
• フィッシャー＝トロムバ計量とガーディナーの公式を用いて、調和写像エネルギーと測度付き分岐の極値長さの関係を確立する。
• シュワルツィアン導関数を用いて、境界無限遠における全純な二次微分形式を定義し、その水平分岐が測度付き分岐 $ f $ を定義する。
• 双曲空間における水平超球面の空間を介して、無限遠における第二基本形式を定義し、退化計量空間として解釈する。
• 無限遠における第二基本形式と線形ウェインガルテン曲面のデータとの間の対応関係を、形状作用素に関する代数的関係を通じて確立する。
• 変換された計量と無限遠における第二基本形式を用いて、$ h $-tame 超曲面におけるモンジュ＝アンペール方程式の条件を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度付き分岐の無限遠における極値長さは、擬フックス多様体における正規化体積の変動とどのように関係するか？
• RQ2 無限遠における全純な二次微分形式の高次元一般化は何か？また、ポアンカレ＝アインシュタイン計量とどのように関係するか？
• RQ3 双曲空間における水平超球面の幾何学を用いて、無限遠における第二基本形式をどのように定義し、線形ウェインガルテン曲面と関連づけるか？
• RQ4 無限遠における第二基本形式にどのような代数的条件が、線形ウェインガルテン曲面のウェインガルテン方程式に対応するか？
• RQ5 $ h $-tame 超曲面の文脈において、第一および第二基本形式の変換からモンジュ＝アンペール方程式はどのように生じるか？

主な発見

• 正規化体積の変動は $ \dot{V}_R = -\frac{1}{2}(d\mathrm{ext}(f))( olimits\dot{c}) $ で与えられ、ここで $ \mathrm{ext}(f) $ は無限遠における測度付き分岐の極値長さである。
• 正規化体積の変分公式は、双対ボナホン＝シュレーフリの公式に類似しており、凸核の境界と無限遠の境界との間に深い類似性があることを示唆している。
• 無限遠における全純な二次微分形式は、ポアンカレ＝アインシュタイン計量を介して高次元に拡張され、幾何的解釈を保ったまま継続する。
• 無限遠における第二基本形式は水平超球面の空間を介して特徴づけられ、形状作用素 $ B $ とその無限遠対応物 $ B^* $ の間の変換則が成り立つ。
• 線形ウェインガルテン曲面は、$ aK_e + bH + c = 0 $ を満たす必要十分条件が $ (a-b+c)\det(B^*) + (c-a)\mathrm{tr}(B^*) + (a+b+c) = 0 $ であると示され、曲率条件と無限遠のデータの間の関係が明確にされた。
• $ h $-tame 超曲面に対して、モンジュ＝アンペール条件は $ \det((a-b+c)B^* + (c-a)E) = b^2 - 4ac $ と同値であり、無限遠における形状作用素を用いた可解性基準が得られた。