[論文レビュー] Notes on the Schwinger model: regularization and gauge invariance

David Stuart|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、点分裂を用いてゲージ不変なハミルトニアンを構成する1+1次元のシュヴィンガーモデルを、円周上でのきめ細やかな正則化と量子化することを提案する。シュレーディンガー表現における完全に正則化されたハミルトニアン作用素が導出され、フェルミオンの生成・消滅演算子および電流のフーリエモードの注意深い取り扱いを通じて、異常を明示的に解消し、ゲージ不変性を保証する。主な結果として、軸電流の非ゼロフーリエモードには異常寄与が存在しないことが示される。

ABSTRACT

The point-splitting computation of the gauge invariant Hamiltonian for the Schwinger model on the circle in a positive energy representation is presented.

研究の動機と目的

• 正エネルギー表現における、円周上のシュヴィンガーモデルに対するゲージ不変なハミルトニアンを構成すること。
• ゲージ対称性の下で正則化の問題、特に軸電流やハミルトニアンのような二線形フェルミオン演算子に関して解決すること。
• 大規模ゲージ変換の下での量子化手順の一貫性を保証し、ゼロモード構造を注意深く取り扱うこと。
• 正則化された電流演算子のフーリエモード、特に $\jmath_1(m)$ および $\jmath_0(m)$ を計算し、$m \neq 0$ の場合に異常寄与が存在しないことを確認すること。
• ゲージ場座標 $a$ およびフェルミオンフォック空間演算子に明示的な依存関係を持つ、完全に正則化されたハミルトニアン作用素をシュレーディンガー表現で導出すること。

提案手法

• 1+1次元のシュヴィンガーモデルを、長さ $L$ の円周上に周期的境界条件を課して定式化し、自然単位およびフェルミの放射ゲージを用いる。
• 古典的ハミルトニアンは、ガウスの法則を用いて導出され、縦方向の電場成分を消去し、横方向の電場 $\dot{a}$ およびフェルミオン双一次形で表現される。
• 点分裂正則化を適用して、軸電流やハミルトニアンのような双一次演算子を定義し、ゲージ不変性と行列要素の有限性を保証する。
• フェルミオン場をフーリエモードに展開し、ゼロ電荷フォック空間 $\mathcal{H}_0$ 上に生成・消滅演算子 $b_m, c_m$ を定義する。
• ゲージ場 $a$ を、$L^2([0, \frac{2\pi}{L}], da; \mathcal{H}_0)$ 上のシュレーディンガー表現における座標演算子として取り扱い、明示的な演算子順序付けを可能にする。
• 電流演算子 $\jmath_0(m)$ および $\jmath_1(m)$ のフーリエモードは、反交換関係構造とデルタ関数制約を用いて計算され、有限粒子部分空間における行列要素の詳細な解析が行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点分裂正則化を用いた場合、円周上のシュヴィンガーモデルにおいて、どのようにして一貫性のあるゲージ不変なハミルトニアンを構成できるか？
• RQ2 大規模ゲージ変換がシュヴィンガーモデルの量子化に果たす役割は何か？ そして、ゲージ不変性はどのように保たれるか？
• RQ3 シュヴィンガー正則化スキーム下で、軸電流 $\jmath_1(m)$ のフーリエモードに $m \neq 0$ の場合に異常寄与があるか？
• RQ4 正則化された電流演算子 $\jmath_0(m)$ および $\jmath_1(m)$ は、フォック空間表現においてどのように振る舞い、その演算子構造は何か？
• RQ5 シュレーディンガー表現における正則化されたハミルトニアンの明示的形は何か？ すべての量子補正項および正規順序化項を含む。

主な発見

• 正則化されたハミルトニアンは、運動エネルギー項、自由フェルミオン項、クーロン相互作用項の和として導出され、ゲージ場座標 $a$ およびフェルミオン演算子に明示的な依存関係を持つ。
• 軸電流フーリエモード $\jmath_1(0)$ は異常なしであり、正則化された軸電荷 $Q^{5,\text{reg}}$ で表現され、ゼロ点項や発散寄与は存在しない。
• $m \neq 0$ の場合、特定の正則化関数 $\chi_\theta$ を含む積分が消えるため、$\jmath_1(m)$ のフーリエモードには異常寄与が存在せず、ゲージ不変性が保たれる。
• 電流演算子 $\jmath_0(m)$ も異常なしであり、そのフーリエモードは生成・消滅演算子の有限和として表現され、有限粒子部分空間を自分自身に写像する。
• ハミルトニアン作用素が大規模ゲージ変換 $a \to a + \frac{2\pi}{L}$ に対して不変であることが示され、全構成のゲージ不変性が確認される。
• 最終的なハミルトニアン (1.8) には、$a$ の運動エネルギー項、$|k_m|$-重み付きの占有数を含む自由フェルミオン項、$a$ の2次項、および $\sum_{m \neq 0} \frac{1}{k_m^2} \jmath_0(-m)\jmath_0(m)$ を含むクーロン相互作用項が含まれており、すべて一貫性を持って正則化されている。