[論文レビュー] Notes on the spaces of bilinear multipliers

Óscar Blasco|ArXiv.org|May 26, 2009

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ 上の双線形マルチプライヤー作用素の構造および有界性に関する性質を調査しており、$m(\xi,\eta) = M(\xi - \eta)$ の形をとるマルチプライヤー $M$ を対象としている。$L^p$-有界性の鋭い条件を確立し、特定のインデックス条件の下でマルチプライヤー空間 $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ が自明であることを証明するとともに、畳み込み型作用素およびフーリエマルチプライヤーを用いた補間に基づく非自明なマルチプライヤーの構成を提供する。

ABSTRACT

A locally integrable function $m(ξ,η)$ defined on $\mathbb R^n imes \mathbb R^n$ is said to be a bilinear multiplier on $\mathbb R^n$ of type $(p_1,p_2, p_3)$ if $$ B_m(f,g)(x)=\int_{\mathbb R^n} \int_{\mathbb R^n}\hat f(ξ)\hat g(η)m(ξ,η)e^{2πi(} dξdη$$ defines a bounded bilinear operator from $L^{p_1}(\mathbb R^n) imes L^{p_2}(\mathbb R^n) $ to $L^{p_3}(\mathbb R^n)$. The study of the basic properties of such spaces is investigated and several methods of constructing examples of bilinear multipliers are provided. The special case where $m(ξ,η)= M(ξ-η)$ for a given $M$ defined on $\mathbb R^n$ is also addressed.

研究の動機と目的

• 関数 $m(\xi,\eta)$ が $M(\xi - \eta)$ の形をとる双線形マルチプライヤー作用素の空間 $\mathcal{BM}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R}^n)$ を特徴づけること。
• $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ が非自明であるためのインデックス $p_1, p_2, p_3$ に対する必要十分条件を特定すること。
• 畳み込み作用素およびフーリエマルチプライヤー技術を用いて非自明な双線形マルチプライヤーを構成するための手法を開発すること。
• 補間および双対性を用いて、$M(\xi - \eta)$ に関連する双線形作用素の $L^p$-有界性の鋭い推定を確立すること。

提案手法

• $m(\xi,\eta) = M(\xi - \eta)$ がタイプ $(p_1,p_2,p_3)$ の有界な双線形マルチプライヤーを定めるような関数 $M$ の空間 $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ を導入すること。
• 双線形畳み込み作用素に関連付けるために、$B_M(f,g)(x) = \int \!\!\! \int \hat{f}(\xi)\hat{g}(\eta) M(\xi - \eta) e^{2\pi i \langle \xi + \eta, x \rangle} d\xi d\eta$ の表現を用いること。
• 核 $K$ を用いた双線形作用素の $L^p$-有界性理論を適用し、$M = \hat{K}$ であると仮定すると、インデックス条件の下で $M \in \tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ が $K \in L^q(\mathbb{R})$ であることと同値であることを示すこと。
• 実補間および双対性の議論を用いて、端点ケースからの有界性を中間の $L^p$ 空間に拡張すること。
• ガウス型正則化および $\lambda \int e^{-\lambda^2 \xi^2} M(\xi + 2y) d\xi$ に関する点ごとの推定を用いて、$\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} > 1$ または $< 1$ のインデックス条件下で $M \equiv 0$ であることを証明すること。
• ヤングの不等式およびコーシー＝シュワルツの不等式を用いて、$\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} = 1 - \frac{1}{q}$ の下で $T(K,f,g) = \int f(x-t)g(x+t)K(t) dt$ の $L^{p_3}$ ノルムを制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのインデックス $p_1, p_2, p_3$ に対して空間 $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ が非自明であるか？
• RQ2 符号 $m(\xi,\eta) = M(\xi - \eta)$ を持つ双線形作用素の $L^p$-有界性と、$M = \hat{K}$ を満たす関連核 $K$ の可積分性との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 補間技法を用いて、$\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ 内で非自明な双線形マルチプライヤーを構成できるか？
• RQ4 どのような条件下で $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R}) = \{0\}$ となるか？
• RQ5 $M = \hat{K}$ のとき、双線形作用素 $B_M(f,g)$ の $L^p$-ノルムと $K$ の $L^q$-ノルムとの関係は何か？

主な発見

• $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} > 1$ または $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} < 1$ のインデックス条件下では、ガウス型正則化およびフーリエ変換の点ごとの減衰を用いて、空間 $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ が自明（すなわち、ゼロ関数のみを含む）であることが示された。
• $K \in L^q(\mathbb{R})$ で $M = \hat{K}$ であるとき、$\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} = 1 - \frac{1}{q}$ ならば、$M \in \tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ であり、$\|M\|_{p_1,p_2,p_3} \leq C\|K\|_q$ が成り立つ。
• $M \in M(\mathbb{R})$ に対して、フーリエ変換 $\hat{M} = \mu$ が $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} = \frac{1}{p_3} \leq 1$ を満たすとき、$\hat{M} \in \tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ であり、$\|\hat{M}\| \leq \|\mu\|_1$ が成り立つ。
• インデックス条件 $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} = 1 - \frac{1}{q}$ の下で、双線形作用素 $T(K,f,g)(x) = \int f(x-t)g(x+t)K(t) dt$ は $L^{p_1} \times L^{p_2}$ から $L^{p_3}$ への有界作用素であり、ノルムは $\|K\|_q$ によって制御される。
• ガウス型正則化とリーマン＝レベーグの補題を組み合わせることで、$\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} < \frac{1}{p_3}$ または $\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} > \frac{1}{p_3} + 1$ のとき、空間 $\tilde{\mathcal{M}}_{(p_1,p_2,p_3)}(\mathbb{R})$ が自明であることが示された。
• $L^1 \times L^{q_1} \times L^{q_2} \to L^s$ および $L^{p'} \times L^{p_1} \times L^{p_2} \to L^\infty$ の推定を補間することで、$\frac{1}{p_1} + \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_3} = 1 - \frac{1}{q}$ のとき、$L^q \times L^{p_1} \times L^{p_2} \to L^{p_3}$ への有界性が得られる。