[論文レビュー] Notes on the sum and maximum of independent exponentially distributed random variables with different scale parameters

Markus Bibinger|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2013

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 3被引用数 45

ひとこと要約

本稿は、異なる尺度パラメータを持つ独立した指数確率変数の和および最大値の確率密度関数（pdf）を、直接的で条件付きの導出によって提示する。畳み込みpdfが個々の指数密度関数の線形結合であることを示し、この形式と特性関数表現との間の関係を確立する。同時に、包含除算法則を用いて最大順序統計量の正確なpdfを導出する。

ABSTRACT

We consider the distribution of the sum and the maximum of a collection of independent exponentially distributed random variables. The focus is laid on the explicit form of the density functions (pdf) of non-i.i.d. sequences. Those are recovered in a simple and direct way based on conditioning. A connection between the pdf and a representation of the convolution characteristic function as a linear combination of the single characteristic functions is drawn. It is demonstrated how the results on the pdf of order statistics and the convolution merge.

研究の動機と目的

• 異なる尺度パラメータを持つ独立した指数確率変数の和の確率密度関数（pdf）を、簡単で直接的な導出法で提示すること。
• 条件付き確率と記憶なし性質を用いることで、複雑な変換に依存せずに畳み込みpdfの導出を簡略化することの証明。
• 畳み込みpdfの線形結合形式と特性関数表現との間の関係を確立すること。
• 包含除算法則と数学的帰納法を用いて、最大順序統計量 $ M_N $ の明示的pdfを導出すること。
• 非同一分布の指数変数の文脈において、畳み込みと順序統計量の取り扱いを統一すること。

提案手法

• 2つの指数確率変数のうち小さい方の条件付けにより、全確率の法則を適用し、記憶なし性質を活用する。
• 初等的な微積分を用いて $ N=2 $ の場合の畳み込み密度 $ f_{S_2}(z) $ を計算し、個々の密度関数の線形結合を得る。
• 数学的帰納法と包含除算法則を用いて、一般の $ N>2 $ に拡張する。
• 最大値 $ M_N $ のpdfを、包含除算法則によりすべての部分集合の和として表される生存関数 $ \mathbb{P}(M_N > z) $ を微分することで導出する。
• 畳み込みpdfと特性関数との関係を示し、個々の特性関数の線形結合として表現できることを示す。
• 順序統計量のRényi表現を用いて、順序統計量の構造と畳み込み形式との関連を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる尺度パラメータを持つ独立した指数確率変数の和の確率密度関数は、基本的な確率的条件付けのみを用いてどのように導出可能か？
• RQ2 $ N $ 個の独立した指数確率変数の最大値の明示的pdfの形式は何か？
• RQ3 非i.i.d.指数確率変数の畳み込みは、個々の特性関数の線形結合として表される特性関数表現とどのように関係しているか？
• RQ4 順序統計量と指数確率変数の畳み込みの分布は、どのような構造的類似性を示すか？
• RQ5 2つのレートパラメータが等しくなるとき、畳み込み密度関数はどのように変化し、ガンマ分布にどのように収束するか？

主な発見

• 異なるレート $ \lambda_n $ を持つ $ N $ 個の独立した指数確率変数の和 $ S_N $ のpdfは、$ f_{S_N}(z) = \sum_{n=1}^N \left( \prod_{j \neq n} \frac{\lambda_j}{\lambda_j - \lambda_n} \right) \lambda_n e^{-\lambda_n z} $ で与えられ、個々の指数密度関数の線形結合である。
• $ N=2 $ の場合、畳み込み密度は $ f_{S_2}(z) = \frac{\lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} f_1(z) + \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} f_2(z) $ に簡略化され、負の係数を持つため混合分布ではない。
• 最大値 $ M_N $ のpdfは、生存関数に対する包含除算法則を用いて明示的に導出され、$ f_{M_N}(z) = \sum_{n=1}^N \lambda_n e^{-\lambda_n z} - \sum_{n<m} (\lambda_n + \lambda_m) e^{-(\lambda_n + \lambda_m)z} + \cdots + (-1)^{N+1} \left( \sum \lambda_n \right) e^{-(\sum \lambda_n) z} $ となる。
• $ \lambda_1 \to \lambda_2 $ に近づくとき、$ N=2 $ の畳み込み密度は形状2、レート $ \lambda_1 $ のガンマ分布に収束し、i.i.d.指数変数の和の極限的挙動と整合的である。
• 和の特性関数は、個々の特性関数の線形結合として表現でき、pdfの構造と類似している。
• 結果として、異なるレートを持つ独立した指数確率変数の和と最大値の両方のpdfが、指数密度関数の線形結合として表現されることを示し、畳み込みと順序統計量の間の構造的類似性が浮き彫りになる。