[論文レビュー] Notes on the vector adelic Grassmannian

George Wilson|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Calogero-Moser空間 $\mathcal{C}_n(r)$、すなわち $GL(n,\mathbb{C})$-不変な四つ組 $(X,Y;v,w)$ のシンプレクティック商として定義される空間を用いて、ベクトルバンドルへのアデール的グラスマンニアンの構成を一般化する。また、ハミルトニアン・フローを介して $\Gamma$-作用を確立する。主な貢献は、多項式ループからなる群 $\Gamma^{\text{alg}}$ が、行列微分作用素の代数 $M_r(A)$ 上で自己同型として作用することを証明することであり、アデール的グラスマンニアンの構造を保存する。

ABSTRACT

These are notes about the connection between the Gibbons-Hermsen system and the multi-component KP hierarchy: they were intended as a first sketch of a paper on that subject, but since it seems unlikely that I will ever write such a paper I have decided to make them available in their present form. The notes were compiled in 2009, and have not been revised since then.

研究の動機と目的

• スカラーからベクトルバンドルへのアデール的グラスマンニアンの構成を、Calogero-Moser空間 $\mathcal{C}_n(r)$ を用いて拡張すること。
• 多項式ループのフローを介して、$\mathcal{C}_n(r)$ 上にハミルトニアン $\Gamma$-作用を定義すること。
• 行列微分作用素の代数 $M_r(A)$ を保存する多項式ループの部分群 $\Gamma^{\text{alg}}$ を特徴づけること。
• 自動同型群とグラスマンニアンの構造を結びつけるために、$\Gamma^{\text{alg}}$ が $M_r(A)$ 内の $zI$ の固定部分群であることを確立すること。

提案手法

• $\mu(X,Y;v,w) = [X,Y] + vw$ により定義される $GL(n,\mathbb{C})$-作用のシンプレクティック商 $\mathcal{C}_n(r) = \mu^{-1}(-I)/GL(n,\mathbb{C})$ を構成する。
• $V(n,r)$ 上で $GL(n,\mathbb{C})$ に不変なハミルトニアン $J_{k,\alpha} = \operatorname{tr}(Y^k v \alpha w)$ を定義する。
• $Y$ が相異なる固有値を持つ $\mathcal{C}^d$ 上で、$v_i(t) = v_i(0)\exp(\lambda_i^k \alpha t)$ として指数関数的フローを用いて運動方程式を解く。
• この解を用いて $\mathcal{C}^d$ 上に $\Gamma$-作用を定義し、これを $\mathcal{C}_n(r)$ 上に大域的に持ち上げる。
• $\gamma \in \Gamma$ が $M_r(A)$ を保存するための必要十分条件が $\gamma^\prime \gamma^{-1}$ が多項式行列であることであることを証明し、これにより $\gamma \in \Gamma^{\text{alg}}$ が得られる。
• $\operatorname{Aut}M_r(A)$ の半直積構造を用いて、$\Gamma^{\text{alg}}$ が $M_r(A)$ 内の $zI$ の固定部分群であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトルアデール的グラスマンニアンは、Calogero-Moser空間 $\mathcal{C}_n(r)$ を通じてスカラーの場合にどのように一般化されるか？
• RQ2 $\mathcal{C}_n(r)$ 上の $\Gamma$-作用の構造は何か？ また、ハミルトニアン・フローからどのように生じるか？
• RQ3 $\Gamma$ のどの部分群が、多項式係数を持つ行列微分作用素の代数 $M_r(A)$ を保存するか？
• RQ4 $\Gamma^{\text{alg}}$ がなぜ $M_r(A)$ 内の $zI$ の固定部分群であるのか？ そして、自動同型群とどのように関係するのか？

主な発見

• $\mathcal{C}_n(r)$ は、$GL(n,\mathbb{C})$ が $V(n,r)$ 上に作用するシンプレクティック商として実現され、滑らかで、既約で、ハイパーケーラー多様体である。
• $\mathcal{C}^d$ 上で、$J_{k,\alpha}$ のハミルトニアン・フローは、$v_i$ と $w_j$ の指数関数的進化を介して $\Gamma$-作用を生成する。
• ポisson括弧の関係式 $\{J_{k,\alpha}, J_{l,\beta}\} = J_{k+l,[\alpha,\beta]}$ は、$\mathfrak{gl}(r)$ 内の多項式ループのリー代数に一致する。
• $\Gamma^{\text{alg}}$ は、多項式行列 $\gamma^\prime \gamma^{-1}$ を満たす $\gamma \in \Gamma$ の集合として、正確に定義される。
• $M_r(A)$ 内の $zI$ の固定部分群は、半直積分解 $\operatorname{Aut}M_r(A)$ を用いて正確に $\Gamma^{\text{alg}}$ であることが証明された。
• $v$ と $w$ にゼロ行・列を追加することによって与えられる包含写像 $\mathcal{C}_n(r) \hookrightarrow \mathcal{C}_n(r+1)$ は、$\Gamma^{\text{alg}}$-作用と両立する。