[論文レビュー] Notes on topological strings and knot contact homology

Tobias Ekholm|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2013

Geometric and Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、トポロジカル弦理論と絡み接触ホモロジーの間に深い接点を確立し、解消されたコンパクト化の上のトポロジカル弦理論の鏡曲線が、絡み接触ホモロジーの増幅多様体と一致することを示している。グロモフ＝ウィトテンのディスク汎関数とラグランジュ的ブレーン構成を用いて、曲線が既約である場合、増幅多項式がトップロジカル弦理論の鏡曲線と一致することを証明しており、鏡対称性を通じて絡みの不変量の物理的かつ幾何的実現がなされている。

ABSTRACT

We give an introduction to the physics and mathematics involved in the recently observed relation between topological string theory and knot contact homology and then discuss this relation. The note is based on two lectures given at the Gokova Geometry and Topology Conference, 2013 and reports on joint work by Aganagic, Ng, Vafa, and the author.

研究の動機と目的

• トポロジカル弦理論と絡み接触ホモロジーの間の物理的かつ幾何的ブリッジを確立すること。
• 解消されたコンパクト化の上のトポロジカル弦理論から得られる鏡曲線が、絡み接触ホモロジーの増幅多項式と一致することを示すこと。
• 挿入付きの正則ディスクの生成関数が、ディスクスーパーポテンシャルを通じて増幅条件を再現することを示すこと。
• 多成分レグランジュアン・コノーマルとラグランジュ的フィルティングを用いて、この対応関係をリンクへと拡張すること。
• 増幅多様体がラグランジュ的であり、HOMFLY波関数に関連する正則的D加群から生じることを予想すること。

提案手法

• S³の余接 bundle および解消されたコンパクト化の上のチェーン＝シモンズ経路積分とトポロジカル弦理論を利用する。
• 鏡対称性を適用し、アガナティク＝ファアの鏡曲線構成を用いて、絡みの多項式不変量を構成する。
• リーブ・チョードに対応する生成子と、正則ディスクからの関係をもつ絡み接触ホモロジー代数を導入する。
• グロモフ＝ウィトテンのディスクスーパーポテンシャル W_K を用い、x = ∂W_K/∂p によって増幅多様体のラグランジュ埋め込みを定義する。
• 増幅写像 ε_L_K のチェーン写像性を適用し、ディスク汎関数と正則ディスク数え上げとの一貫性を確認する。
• 多成分レグランジュアン・コノーマルと (C*)^{2n} 内のコイソトロピック・ブレーンを考察することで、フレームワークをリンクへと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 絡み接触ホモロジーの増幅多項式は、解消されたコンパクト化の上のトポロジカル弦理論から得られる鏡曲線と一致するか？
• RQ2 ディスクスーパーポテンシャル W_K が、何の条件下で増幅多様体をラグランジュ部分多様体として生成するか？
• RQ3 絡みまたはリンクのレグランジュアン・コノーマルの遮断されないラグランジュ的フィルティングを構成することで、鏡対称性対応を実現できるか？
• RQ4 HOMFLY波関数は、増幅多様体上のD加群構造とどのように関係するか？
• RQ5 リンクの増幅多様体は、標準的シンプレクティック形式に関して常に (C*)^{2n} 内でラグランジュ的か？

主な発見

• 対応する代数的曲線が既約である場合、絡み接触ホモロジーの増幅多項式は、アガナティク＝ファアの構成から得られる鏡曲線と一致する。
• 挿入付きの正則ディスクの生成関数は、ディスクスーパーポテンシャルの微分を再現し、増幅条件に至る。
• ディスク汎関数を介して定義された写像 ε_L_K はチェーン写像性を満たし、有効な増幅写像であることが確認された。
• リンクの場合、(C*)^{2n} 内の増幅多様体は複数の成分を持ち、それぞれが自明な混合チョードと非自明な混合チョードに対応する。
• 増幅多様体 V_K がラグランジュ的であり、HOMFLY波関数 Ψ_K を生成子とする正則的D加群の特徴多様体であるという予想は支持されている。
• このD加群は、(C*)^{2n} 上のAモデルの開弦ストリングと、コイソトロピック・ブレーンおよびV_K 上のラグランジュ的ブレーンから生じ、座標がWeyl代数作用素として作用する。