[論文レビュー] Notes on Wick's theorem in many-body theory

Luca Guido Molinari|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、多体系理論におけるウィックの定理の教育的導出を提供し、基準状態に関して静的および時刻順正規順序化された場演算子の両方を焦点としている。c-numberの縮約を用いて、生成・消滅演算子の積を正規順序形式に書き換える体系的な手続きを確立しており、時間順序化の場合の新規な帰納的証明を含む。これにより、自由理論および相互作用理論におけるグリーン関数の効率的計算が可能になる。

ABSTRACT

In this pedagogical note I present the operator form of Wick's theorem, i.e. a procedure to bring a product of 1-particle creation and destruction operators to normal order, with respect to some reference many-body state. Both the static and the time-ordered cases are presented. For the latter, in particular, I provide a simple proof.

研究の動機と目的

• 多体系量子場理論の文脈において、ウィックの定理の明快でアクセス可能な導出を提供すること。
• フェルミ海やBCS基底状態のような多体系基準状態に関して、場演算子の積を正規順序化する手続きを形式化すること。
• 標準的なウィックの定理を時間順序化積へと拡張し、量子場理論における摂動計算にとって不可欠な要素を明らかにすること。
• c-numberの縮約の役割と、時間順序化および統計（ボソン／フェルミオン）の下での変換性を明確にすること。

提案手法

• 場演算子を $A_i = A_i^- + A_i^+$ に分解し、$A_i^-$ が基準状態を消滅させ、$A_i^+$ がそれから生成するものとする。
• 正規順序化 $\mathcal{N}[\cdots]$ を、すべての $A_i^+$ 演算子を $A_j^-$ 演算子の左に配置することとして定義する。
• 静的縮約 $\langle A_i A_j \rangle = \langle gs| A_i A_j |gs \rangle$ と時間順序化縮約 $\overbrace{A_i(t_i) A_j(t_j)} = \langle gs| \mathcal{T} A_i(t_i) A_j(t_j) |gs \rangle$ を導入する。
• 生成・消滅演算子の混合括弧 $[A_i^-, A_j^+]_\mp$ がc-numberであることを保証するため、標準的交換関係（CAR）または可換関係（CCR）を適用する。これはウィックの定理の成立に不可欠な条件である。
• 帰納法を用いて時間順序化ウィックの定理を証明し、$\mathcal{T}[A_1\cdots A_n]$ が、時間順序化縮約の数が増加する正規順序化項の和に分解されることを示す。
• 定理により、n粒子グリーン関数の評価が、1粒子伝播関数の永久（ボソン）または行列式（フェルミオン）に簡略化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非真空基準状態に関して、場演算子の積を体系的に正規順序形式に再書き換えする方法は何か？
• RQ2 多体系における時間順序化縮約の構造は何か？そしてフェニマン伝播関数とどのように関係するか？
• RQ3 なぜウィックの定理は、混合演算子括弧 $[A_i^-, A_j^+]_\mp$ がc-numberである場合にのみ成立するのか？
• RQ4 時間順序化ウィックの定理の帰納的証明が、量子場理論の因果的構造とどのように整合性を持つのか？
• RQ5 結果が自由理論におけるn粒子グリーン関数の計算をどの程度簡略化するのか？

主な発見

• 時間順序化積に対するウィックの定理は、$\mathcal{T}[A_1\cdots A_n] = \sum_{k=0}^n \mathcal{N}[\text{すべての } k\text{-縮約}]$ と表され、厳密な帰納的証明が与えられている。
• 時間順序化縮約は $\overbrace{A_i(t_i)A_j(t_j)} = \pm \overbrace{A_j(t_j)A_i(t_i)}$ を満たし、期待値の時間順序性を反映している。
• 非相互作用フェルミオンでは、n粒子グリーン関数は1粒子伝播関数 $G^0(x_i, y_j)$ の行列式に簡略化される。これは式 (42) と一致する。
• BCS超伝導状態では、異常縮約 $F^0$ と $F^{\dagger 0}$ が非ゼロであり、コープアー対相関を反映している。
• この定理により、自由理論におけるn粒子グリーン関数の評価が、置換の符号（フェルミオン）または永久（ボソン）で重み付けられた置換の和に簡略化される。
• 証明は、$A_\ell N_{n,k} = \mathcal{N}[A_\ell N_{n,k}] + \mathcal{N}[\contraction{}{A}{{}_{\ell}}{N} A_\ell N_{n,k}]$ という重要な補題に依拠しており、ここで縮約は最大の時間順序化に従う。