[論文レビュー] Notes on $\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ representations

Alexei Kitaev|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2017

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 7被引用数 39

ひとこと要約

本稿は、$\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ のユニタリおよび非ユニタリ表現の物理的動機付けに基づく詳細な解説を提供し、行列要素、キャスミール固有関数、プランシェル測度の明示的公式を含む。双曲平面および2次元反ド・ジッター空間（$\mathrm{AdS}_2$）におけるスピノルとの関係を確立し、クリーブス・ゴルダン係数および明示的な正規化を施した相互作用演算子（intertwiners）を用いて、補充系列および離散系列を含むユニタリ非可約表現のテンソル積の分解を導出する。

ABSTRACT

These notes describe representations of the universal cover of $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ with a view toward applications in physics. Spinors on the hyperbolic plane and the two-dimensional anti-de Sitter space are also discussed.

研究の動機と目的

• 量子場理論およびサハド・イェ・キタイエフ（SYK）モデルへの応用を動機として、$\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ の表現論について、アクセス可能でありながら技術的に詳細な解説を提供すること。
• ユニタリ非可約表現の行列要素、キャスミール固有関数、およびプランシェル測度の明示的公式を導出すること。
• キャスミール固有関数と双曲平面および2次元反ド・ジッター空間（$\mathrm{AdS}_2$）上のスピノルとの対応関係を確立すること。
• クリーブス・ゴルダン係数および相互作用演算子を用いて、補充系列および離散系列を含むユニタリ非可約表現のテンソル積の分解を計算すること。
• 連続系列および離散系列における相互作用演算子の明示的正規化因子を提供し、相関関数や量子重力モデルにおける物理的応用を可能にすること。

提案手法

• SYKモデルにおける時序相関関数の対称性群として、$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ の普遍被覆 $\tilde{\mathfrak{G}}$ を用い、$z = \exp(2\pi t/\beta)$ を用いて実時間から単位円への写像を定義する。
• 左および右の群作用の明示的座標とキャスミール固有関数を用いて、$\tilde{\mathfrak{G}}$ 上のフーリエ変換を適用し、プランシェル測度を導出する。
• 群上の $L$-および $R$-作用を用いて、非可約表現の行列要素およびプランシェル測度を導出し、超幾何関数を用いた明示的表現を得る。
• 2つの標準的ゲージと空間の複素埋め込みを用いて、$\mathrm{H}^2$ および $\mathrm{AdS}_2$ 上のスピノルを、キャスミール方程式の解として構成する。
• $\mathcal{D}^{+}_{\lambda_1} \otimes \mathcal{D}^{+}_{\lambda_2}$ および $\mathcal{D}^{+}_{\lambda_1} \otimes \mathcal{D}^{-}_{\lambda_2}$ のテンソル積のクリーブス・ゴルダン係数を、相互作用演算子のノルムによる明示的正規化を伴って計算する。
• 射影子 $\Pi^{+-}_{\lambda_1,\lambda_2;\lambda}$ を用いて、テンソル積空間における恒等演算子の完全な分解を導出し、超幾何関数およびガンマ関数を含む明示的表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理的応用を想定して、$\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ のユニタリおよび非ユニタリ表現を体系的に分類・パラメータ化する方法は何か？
• RQ2 非可約表現の行列要素およびプランシェル測度の明示的形は何か？
• RQ3 キャスミール固有関数 $\tilde{\mathfrak{G}}$ 上の関数と、双曲平面および2次元反ド・ジッター空間上のスピノルとの関係は何か？
• RQ4 ユニタリ非可約表現のテンソル積の分解構造は何か？
• RQ5 連続系列、離散系列、補充系列における相互作用演算子の正規化因子は何か？

主な発見

• 連続系列 $\mathcal{D}^{+}_{1/2+is}$ のプランシェル測度は、$\frac{2s \sinh(2\pi s) |\Gamma(\lambda_1 + \lambda_2 - 1/2 - is)|^2}{\cosh(2\pi s) + \cos(2\pi\nu)}$ で与えられ、相互作用演算子 $\Upsilon^{+-}_{\lambda_1,\lambda_2;1/2+is}$ の正規化は $\frac{\cosh(2\pi s) + \cos(2\pi\nu)}{2s \sinh(2\pi s) |\Gamma(\lambda_1 + \lambda_2 - 1/2 - is)|^2} \delta(s - s') \mathbf{1}^\nu_{1/2+is}$ である。
• 離散系列 $\mathcal{D}^{+}_{\lambda}$（$\lambda = \lambda_1 - \lambda_2 - p > 1/2$）において、相互作用演算子のノルムは $\frac{1}{(2\lambda - 1) \Gamma(\lambda_1 + \lambda_2 - \lambda) \Gamma(\lambda_1 + \lambda_2 - 1 + \lambda)} \mathbf{1}^+_{\lambda}$ である。
• 補充系列（$\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 < 1/2$）において、相互作用演算子のノルムは $\frac{\sin(2\pi\lambda_1) \sin(2\pi\lambda_2) \Gamma(1 - 2\lambda)}{\pi^2} \mathbf{1}^\nu_{\lambda}$ である。
• $\mathcal{D}^{+}_{\lambda_1} \otimes \mathcal{D}^{-}_{\lambda_2}$ のテンソル積分解には、与えられたプランシェル測度を伴う $s \in (0, \infty)$ における連続積分、$\lambda = |\nu| - p > 1/2$ である離散系列の和、および $\lambda_1 + \lambda_2 < 1/2$ のときの補充系列項が含まれる。
• 射影子 $\tilde{\Pi}^{+-}_{\lambda_1,\lambda_2;\lambda}$ は、$v = \frac{(z_1 - w_2)(z_2 - w_1)}{(z_1 - w_1)(z_2 - w_2)}$ を用いた超幾何関数 $\mathbf{F}(\lambda + \nu, \lambda - \nu, 1; v)$ として表現され、クリーブス・ゴルダン係数の生成関数を提供する。
• 量子数 $m = \nu$ のクリーブス・ゴルダン係数の部分生成関数は、離散系列では $\tilde{Y}^{+-}_{\lambda_1,\lambda_2;\lambda,\nu}(z_1,z_2) = z_1^{\lambda_1} z_2^{-\lambda_2 - p} (1 - z_1/z_2)^{-2\lambda_2 - p}$ であり、補充系列では $z_1^{\lambda_1} z_2^{\lambda_2} \mathbf{F}(\lambda_1, \lambda_2, 1; z_1/z_2)$ である。