[論文レビュー] Notions of Anonymous Existence in Martin-Löf Type Theory

Nicolai Kraus, Martı́n Hötzel Escardó+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 10被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、Hedbergの定理を一般化し、恒等型上の弱く定数な自己関手を導入することで、特定の条件下でそれらが命題的トレナンセーションを介して因数分解されることを示している。これは、一意な恒等証明を持つ型（集合）が、このような関数を用いて特徴づけられることを示し、トレナンセーションを用いた匿名の存在の概念を導入するとともに、ホモトピー型理論におけるトレナンセーションの判断的計算規則がもたらす驚きの結果を明らかにしている。すべての結果はAgdaで形式化されている。

ABSTRACT

As the groupoid model of Hofmann and Streicher proves, identity proofs in intensional Martin-Löf type theory cannot generally be shown to be unique. Inspired by a theorem by Hedberg, we give some simple characterizations of types that do have unique identity proofs. A key ingredient in these constructions are weakly constant endofunctions on identity types. We study such endofunctions on arbitrary types and show that they always factor through a propositional type, the truncated or squashed domain. Such a factorization is impossible for weakly constant functions in general (a result by Shulman), but we present several non-trivial cases in which it can be done. Based on these results, we define a new notion of anonymous existence in type theory and compare different forms of existence carefully. In addition, we show possibly surprising consequences of the judgmental computation rule of the truncation, in particular in the context of homotopy type theory. All the results have been formalized and verified in the dependently typed programming language Agda.

研究の動機と目的

• 恒等証明が一意である型（集合）を、恒等型上の弱く定数な自己関手を用いて特徴づけることにより、Hedbergの定理を拡張すること。
• 一般的な障害があるにもかかわらず、弱く定数な関数が命題的トレナンセーションを介して因数分解できる条件を調査すること。
• トレナンセーションを用いて、標準の存在記号とは異なり、証拠を明かさずに存在を主張する新しい匿名存在の概念を導入し、形式化すること。
• ホモトピー型理論における命題的トレナンセーションの判断的計算規則がもたらす影響を分析すること。
• さまざまな存在の形態、例えば命題的トレナンセーション、ブラケット型、標準的存在型の間の関係を明確にすること。

提案手法

• 任意の二つの入力を等しい出力に写すが、整合性条件を要求しない関数を弱く定数関数として定義する。
• このような関数が恒等型上に存在する型を特徴づけ、それが一意な恒等証明を持つ型（集合）に一致することを示す。
• 特定の条件下で、任意の型上の弱く定数な自己関手が、その定義域の命題的トレナンセーションを介して因数分解できることを証明する。
• 命題的トレナンセーション（スラッシュ型）を用いて、証拠を明かさずに存在を主張する匿名の存在を定義する。
• Agdaですべての結果を形式化し、依存型と関数の同一性を活用して整合性と型理論的正しさを検証する。
• トレナンセーションの判断的計算挙動を分析し、ホモトピー型理論において予期しない結果をもたらすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般に型理論では不可能であるにもかかわらず、弱く定数関数が型の命題的トレナンセーションを介して因数分解できる条件は何か？
• RQ2 恒等型上の弱く定数な自己関手は、どのようにして集合（一意な恒等証明を持つ型）を特徴づけるか？
• RQ3 型理論における命題的トレナンセーションと匿名存在の正確な関係は何か？
• RQ4 トレナンセーションの判断的計算規則が、ホモトピー型理論における型理論的構成に及ぼす影響は何か？
• RQ5 標準的存在記号、命題的トレナンセーション、ブラケット型といった、さまざまな存在の概念は、強さと表現力の観点からどのように比較できるか？

主な発見

• 恒等型上の弱く定数な自己関手が存在するための必要十分条件は、型が一意な恒等証明を持つこと（すなわち集合であること）である。これはHedbergの元々の結果を一般化する。
• このような恒等型上の弱く定数な自己関手は、一般に弱く定数関数では不可能であるにもかかわらず、その定義域の命題的トレナンセーションを介して因数分解可能である。
• 本論文では、証拠を明かさずに存在を主張する、命題的トレナンセーションを用いた匿名存在の新しい概念を導入した。これは標準的存在型とは明確に異なる。
• 命題的トレナンセーションの判断的計算規則は、驚くべき結果をもたらす。特に、特定の条件下で、トレナンセーション型から証拠を抽出できる可能性がある。
• 経路空間上の定数自己写像の型は命題的であり、このような自己写像が存在するという性質は、集合であることと同値である。
• 関数の同一性が成立する限り、isProp、isContr、isSet、isDiscreteといった標準的な型理論的述語すべてが、自分自身が命題的型であることが示される。