[論文レビュー] Notions of Dirichlet problem for functions of least gradient in metric measure spaces

Riikka Korte, Panu Lahti+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2016

Analytic and geometric function theory参考文献 30被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、倍加測度およびPoincaré不等式を満たす測度付き距離空間における最小勾配関数のディリクレ問題の2つの異なる定式化を導入し、解析する。p→1におけるp-調和関数の近似によって解の存在を確立し、特に1つの定式化では直接法が失敗するが、内部端末理論と離散畳み込みを活用することでこれを克服する。主な結果は、広範なクラスの領域において、両方の定義下で最小勾配解が存在することである。

ABSTRACT

We study two notions of Dirichlet problem associated with BV energy minimizers (also called functions of least gradient) in bounded domains in metric measure spaces whose measure is doubling and supports a $(1,1)$-Poincar\\'e inequality. Since one of the two notions is not amenable to the direct method of the calculus of variations, we construct, based on an approach of [23, 29], solutions by considering the Dirichlet problem for $p$-harmonic functions, $p>1$, and letting $p\ o 1$. Tools developed and used in this paper include the inner perimeter measure of a domain.

研究の動機と目的

• 測度付き距離空間における最小勾配関数（全 variation が最小であるBV関数）のディリクレ問題における適切な定式化の欠如を解決すること。
• 外部への依存性が境界挙動に与える影響により、1つの自然なディリクレ問題の定式化（直接法）がp=1において失敗する問題を解消すること。
• 発散定理や可視性法に依存せずに、p→1におけるp-調和関数の極限によるアプローチによって解の存在を確立すること。
• 一般の測度付き距離空間におけるBV関数の近似に用いるための道具（内部境界測度および離散畳み込み）を開発すること。
• 非滑らかまたは不規則な領域においても、p→1におけるp-調和関数の極限が最小勾配関数であることを示すこと。

提案手法

• 2つのディリクレ問題の定義を提案する：1つは閉包上でのエネルギー最小化を要件とする（定義4.1(B)）、もう1つは内部端末を用いてジャンプエネルギーを測定する（定義4.1(T)）。
• p→1におけるp-調和関数の極限を用いて解を構成し、定理3.3でその極限が最小勾配関数であることを証明する。
• 離散畳み込みを用いてBV関数のリプシッツ近似を構成し、L¹収束および全 variation の制御を可能にする。
• 境界端末と内部からのエネルギー寄与を特徴付けるための主要な道具として、内部境界測度P₊(Ω,·)を導入・分析する。
• 全 variation の下側連続性とL¹収束に基づくコンパクトネスの議論を用いて、p-調和関数の収束部分列を抽出する。
• P₊(Ω,·)がRadon外部測度であることを示し、これにより測度付き距離空間における端末とエネルギーの解析が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部への拡張を要件としない測度付き距離空間において、最小勾配関数のディリクレ問題を意味的に定式化できるか？
• RQ2 なぜp=1の場合に、端末に基づくディリクレ問題（定義4.1(T)）では直接法が失敗するのか？
• RQ3 一般の測度付き距離空間において、p→1におけるp-調和関数の極限として最小勾配問題の解を構成できるか？
• RQ4 内部境界測度P₊(Ω,·)は、境界付近におけるBV関数の端末とエネルギーを特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 一般の測度付き距離空間において、収束性と変動の制御を保ちつつ、BV関数をリプシッツ関数で近似する方法は何か？

主な発見

• 定理3.3は、p→1におけるp-調和関数のL¹極限が、与えられた領域内での最小勾配関数であることを確立する。
• 内部境界測度P₊(Ω,·)がRadon外部測度であることが示され、測度付き距離空間におけるBV関数の厳密な端末理論の構築が可能になる。
• 端末に基づくディリクレ問題（定義4.1(T)）において、直接法の失敗にもかかわらず、p→1近似法によって解の存在が証明される。
• 離散畳み込み技術により、与えられたBV関数にL¹収束するリプシッツ関数の列が得られ、全 variation が制御可能である。これは重要な近似道具である。
• 本稿では、定義(B)と定義(T)の2つのディリクレ問題の定式化が、必要な幾何的・解析的条件を満たす領域において、解の存在という意味で同値であることを示している。
• 結果は、ユークリッド空間の滑らかな領域にとどまらず、Lipschitz領域や非滑らか領域を含む、倍加測度およびPoincaré不等式を満たす測度付き距離空間の広いクラスにまで拡張可能である。