[論文レビュー] Novel algebraic structures from the polysymplectic form in field theory

Igor V. Kanatchikov|ArXiv.org|Dec 31, 1996

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、古典力学におけるシンプレクティック形式の場理論的一般化として多シンプレクティック形式を導入し、微分形式上に一般化された非可換で高次のゲルステンハーバー代数をもたらすポアソン括弧を構成する。主な貢献は、場の理論のデ・ドンデル＝ヴァイラー多モーメンタムハミルトニアン形式における水平形式上に、一般化された（非可換で高次の）ゲルステンハーバー代数という新たな代数的構造を同定することにある。

ABSTRACT

The polysymplectic $(n+1)$-form is introduced as an analogue of the symplectic form for the De Donder-Weyl polymomentum Hamiltonian formulation of field theory. The corresponding Poisson brackets on differential forms are constructed. The analogues of the Poisson algebra are shown to be generalized (non-commutative and higher-order) Gerstenhaber algebras defined in the text.

研究の動機と目的

• 多シンプレクティック形式を用いて、ハミルトニアン力学におけるシンプレクティック構造の場理論的類似を確立すること。
• 力学におけるポアソン代数構造を、古典的場理論のデ・ドンデル＝ヴァイラーハミルトニアン形式へ一般化すること。
• 多モーメンタム位相空間における微分形式上のポアソン括弧の背後にある代数的構造を同定すること。
• 水平形式上の括弧演算が非可換で高次の階数付きライブニッツ恒等式を満たすことを示し、ゲルステンハーバー代数を一般化すること。
• この新しい代数的枠組みを用いて、場理論への正準的・変形的・幾何学的量子化の拡張の基盤を築くこと。

提案手法

• 拡張された多モーメンタム位相空間 $\mathcal{Z}$ 上に、$\Theta = -p^i_a dy^a \wedge \omega_i$ を $\bigwedge^n_1 / \bigwedge^n_0$ 内の同値類とする多シンプレクティック形式 $\Omega := d^V \Theta = -dp^i_a \wedge dy^a \wedge \omega_i$ を定義する。
• 形式 $\bigwedge^{p+1}_q$ を法とする外微分 $d^V$ を定義し、$\Omega$ が同値類の代表元として適切に定義されることを保証する。
• 水平形式 $F \in \bigwedge^p_0(\mathcal{Z})$ に対して、$X_F \hskip 2.0pt\raisebox{-1.0pt}{\rule{6.0pt}{0.3pt}\rule{0.3pt}{8.0pt}}\hskip 3.0pt \Omega = -d^V F$ を満たすハミルトニアンベクトル場 $X_F$ を関連付ける。
• 階数付き微分作用素（g.d.o.-s）の間で、階数付きロウド代数恒等式を満たす左半括弧 $[[X,Y]]$ を定義し、リー代数構造を一般化する。
• 水平形式上に、$\{[F,G]\} = (-)^{n-F} X_F \hskip 2.0pt\raisebox{-1.0pt}{\rule{6.0pt}{0.3pt}\rule{0.3pt}{8.0pt}}\hskip 3.0pt X_G \hskip 2.0pt\raisebox{-1.0pt}{\rule{6.0pt}{0.3pt}\rule{0.3pt}{8.0pt}}\hskip 3.0pt \Omega$ としてポアソンに類似した括弧を定義する。
• 括弧が右階数付きライブニッツ則および左高次階数付きライブニッツ則を満たすことを証明し、一般化されたゲルステンハーバー代数構造を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空共変性を損なわずに、力学におけるシンプレクティック構造を場理論へ一般化する方法は何か？
• RQ2 デ・ドンデル＝ヴァイラーハミルトニアン形式における微分形式上のポアソン括弧の背後にある代数的構造は何か？
• RQ3 水平形式上の階数付き括弧は、非可換で高次のライブニッツ恒等式の一般化をどのように満たすか？
• RQ4 運動方程式は、この新しい括弧構造を用いてポアソン括弧形式に再定式化可能か？
• RQ5 多シンプレクティック形式は、力学におけるシンプレクティック形式に類する場理論における基本的幾何的対象として、果たす役割は何か？

主な発見

• 多シンプレクティック形式 $\Omega = -dp^i_a \wedge dy^a \wedge \omega_i$ は、$\bigwedge^{n+1}_1 / \bigwedge^{n+1}_0$ 内の同値類の代表元として定義され、場理論へのシンプレクティック形式の一般化を実現する。
• ハミルトニアン階数付き微分作用素（g.d.o.-s）の空間は、左半括弧 $[[X,Y]]$ を用いて階数付きロウド代数をなす。この代数は、恒等式 $[[X,[[Y,Z]]]] = [[X,[[Y,Z]]]] - (-)^{(|X|+1)(|Y|+1)} [[Y,[[X,Z]]]]$ を満たす。
• 水平形式上のポアソン括弧 $\{[F,G]\}$ は右階数付きライブニッツ則を満たす：$\{[F\wedge G,K]\} = F\wedge\{[G,K]\} + (-)^{G(n-K-1)}\{[F,K]\}\wedge G$。
• 括弧は左高次階数付きライブニッツ則をも満たす：$\{[\{[F,G]\},K]\} = \{[F,\{[G,K]\}]\} - (-)^{(n-F-1)(n-G-1)} \{[G,\{[F,K]\}]\}$。
• 得られる代数的構造は、非可換で高次のゲルステンハーバー代数の一般化であり、力学におけるポアソン代数を場理論へ拡張する。
• 力学的変数 $F$ の運動方程式は、$\mathbf{d}F = \{[H\omega, F]\}$ として表される。ここで $\mathbf{d}F = dx^i \wedge (\partial_i y^a \partial_a F + \partial_i p^j_a \partial^a_j F)$ であり、これは力学における時間微分を場理論的全微分に一般化する。