[論文レビュー] Novel anomalous diffusion phenomena of underdamped Langevin equation with random parameters

Yao Chen, Xudong Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 76被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、時間に依存する速度拡散係数と確率的緩和時間スケールτを有する非ダムプド・ランジュバン系における異常拡散を調査し、重たい尾部を示すτの分布が速度相関の減衰を抑制し拡散を強化することを示している。さらに、確率的初期速度v₀がこの効果をさらに増幅させ、時間に依存する拡散係数と競合することで、非自明なエルゴード性破れとスーパー拡散的挙動を生じさせ、有限モーメントを持つにもかかわらず従来のモデルを超える非自明な異常拡散を引き起こす。

ABSTRACT

The diffusion behavior of particles moving in complex heterogeneous environment is a very topical issue. We characterize particle's trajectory via an underdamped Langevin system driven by a Gaussian white noise with a time dependent diffusivity of velocity, together with a random relaxation timescale $ au$ to parameterize the effect of complex medium. We mainly concern how the random parameter $ au$ influences the diffusion behavior and ergodic property of this Langevin system. Besides, the comparison between the fixed and random initial velocity $v_0$ is conducted to show the effect of different initial ensembles. The heavy-tailed distribution of $ au$ with finite mean is found to suppress the decay rate of the velocity correlation function and promote the diffusion behavior, playing a competition role to the time dependent diffusivity. More interestingly, a random $v_0$ with a specific distribution depending on random $ au$ also enhances the diffusion. Both the random parameters $ au$ and $v_0$ influence the dynamics of the Langevin system in an non-obvious way, which cannot be ignored even they has finite moments.

研究の動機と目的

• 確率的緩和時間スケールτが非ダムプド・ランジュバン系における異常拡散およびエルゴード性に与える影響を理解すること。
• 時間に依存する拡散係数と確率的τの間の競合が拡散挙動をどのように規定するかを分析すること。
• 特にτに依存する分布である場合に、確率的初期速度v₀が拡散およびエルゴード性に与える影響を調査すること。
• 時間平均（TAMSD）および集合平均（EAMSD）の平均二乗変位を用いたエルゴード性の比較。
• 有限モーメントを持つ重たい尾部のτおよびv₀の分布が、標準モデルを超える非自明な異常拡散をどのように引き起こすかを定量すること。

提案手法

• 時間に依存する拡散係数νt^{β−1}と、修正されたレヴィ分布から抽出された確率的緩和時間スケールτを有する非ダムプド・ランジュバン方程式を定式化する。
• τに重たい尾部を持つが有限平均⟨τ⟩を持つ修正レヴィ分布を用い、複雑な不均一媒質をモデル化する。
• ラプラス変換および逆ラプラス変換法を用いて、レヴィ分布の積分表現を組み込み、τの平均を取ることで速度相関関数を評価する。
• EAMSDおよびTAMSDの解析的表現を導出し、大時間およびラグ時間における漸近的挙動を含む。
• 逆変換サンプリング法を用いて、レヴィ分布からτを数値的に生成し、軌道シミュレーションに応用する。
• 固定τ vs. 確率的τ、固定v₀ vs. 確率的v₀の比較を通じて、それぞれの要因が拡散およびエルゴード性に与える個別的および複合的効果を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限平均を持つ重たい尾部の緩和時間スケールτの分布が、非ダムプド・ランジュソン系における速度相関関数および拡散ダイナミクスに与える影響は何か？
• RQ2 時間に依存する拡散係数νt^{β−1}が確率的τと競合することで、異常拡散指数にどのような役割を果たすか？
• RQ3 特にτに依存する分布に従う確率的初期速度v₀は、拡散挙動およびエルゴード性破れにどのように影響を及ぼすか？
• RQ4 有限モーメントを持つ重たい尾部のτおよびv₀の分布が、非エルゴード的スーパー拡散的挙動をどの程度引き起こすか？
• RQ5 確率的τおよびv₀が存在する場合、TAMSDとEAMSDはどのように比較されるか？これは、複雑媒質における単一粒子追跡にどのような含意を持つか？

主な発見

• 有限平均を持つ重たい尾部のτ分布は、速度相関関数の減衰率を抑制し、時間に依存する拡散係数がそれを遅くする中でも、スーパー拡散的挙動を促進する。
• 時間に依存する拡散係数と確率的τの間の競合により、サブ拡散からスーパー拡散への非単調的遷移が生じ、特定のτおよびβ値において異常指数μ > 1が観察される。
• 特にτに依存する分布に従う確率的初期速度v₀は、τ単体の効果を上回る拡散の増幅をもたらし、初期条件と媒質の不均一性との間の非自明な結合を示唆する。
• 集合平均のTAMSDは⟨δ²(∆)⟩ ≃ ν(1+α)⟨τ⟩/(C)^αΓ(2−α) ∆^{2−α}とスケーリングし、指数2−α < 2であるためスーパー拡散的挙動であることが示され、異常拡散と整合的である。
• エルゴード性破れが観察される：TAMSDとEAMSDは、確率的τおよびv₀によって非エルゴード的になるため、両者が収束しない。これは両者とも有限モーメントを持つにもかかわらず成立する。
• EAMSDおよびTAMSDの解析的表現は、漸近的解析および数値シミュレーションにより検証され、大時間およびラグ時間において理論的予測と良好に一致している。