[論文レビュー] Novel Characteristics of Split Trees by use of Renewal Theory

Cecilia Holmgren|arXiv (Cornell University)|May 25, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、二分探索木やトライを含む広範なランダム木のクラスであるスプリット木の分析に再生理論を適用し、頂点の深さに関するより鋭い尾部バウンドを導出し、深さの分散に対する初めての漸近的表現を導出する。再生理論に基づく確率的・解析的技法を用いて、深さが典型的な深さ $rac{ ext{ln} hinspace n}{ ext{μ}}$ から著しく逸脱する頂点の数が急速に減少することを確立し、深さ関連統計量の正確な漸近的展開を証明する。

ABSTRACT

We investigate characteristics of random split trees introduced by Devroye; split trees include for example binary search trees, $m$-ary search trees, quadtrees, median of $(2k+1)$-trees, simplex trees, tries and digital search trees. More precisely: We introduce the use of renewal theory in the studies of split trees, and use this theory to prove several results about split trees. A split tree of cardinality $n$ is constructed by distributing $n$ "balls" (which often represent "key numbers") in a subset of vertices of an infinite tree. One of our main results is to give a relation between the deterministic number of balls $n$ and the random number of vertices $N$. Devroye has found a central limit law for the depth of the last inserted ball so that most vertices are close to $\frac{\ln n}μ+\mathcal{O}\Big(\sqrt{\ln n}\Big)$, where $μ$ is some constant depending on the type of split tree; we sharpen this result by finding an upper bound for the expected number of vertices with depths $\geq\frac{\ln n}μ+\ln^{0.5+ε} n$ or depths $\leq\frac{\ln n}μ+\ln^{0.5+ε} n$ for any choice of $ε>0$. We also find the first asymptotic of the variances of the depths of the balls in the tree.

研究の動機と目的

• 再生理論を用いて、この文脈では新規な手法としてランダムスプリット木内の深さ分布を分析すること。
• 最後に挿入された玉の深さに関する既存の中心極限定理を、よりタイトな尾部バウンドを提供することで精緻化すること。
• スプリット木における頂点深さの分散に対する最初の漸近的表現を導出すること。
• スプリット木における決定的であるボール数 $n$ とランダムな頂点数 $N$ の間の明確な関係を確立すること。
• 深さのフラクチュエーションを理解を拡張し、$ olimits\sqrt{\text{ln} hinspace n}$ を超える逸脱を定量的に評価すること。

提案手法

• スプリット木の確率的成長過程を再生過程としてモデル化し、深さの増分を再生過程として扱う。
• 期待される極端な深さにおける頂点数を分析するために再生報酬定理を適用する。
• 再生過程フレームワークを用いて深さ逸脱の集中バウンドを導出し、深さが $ olimits\frac{\text{ln} hinspace n}{\text{μ}} + \text{ln}^{0.5+\epsilon}\text{n}$ を超える確率が急速に減少することを示す。
• 深さのフラクチュエーションを制御するため、$\Omega_L$ という事象下での条件付き期待値および分散分析を実施する。ここで $L = \lfloor \beta \log_b \ln n \rfloor$ である。
• コーシー＝シュワルツの不等式およびモーメントバウンドを用いて、部分木における深さ関連和の分散を制御する。
• 漸近的展開と誤差分解を適用し、深さ統計量の一次の分散表現および高次の補正項を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再生理論を、ランダムスプリット木内の深さ分布を分析するために体系的にどのように適用できるか？
• RQ2 特に $ olimits\text{ln}^{0.5+\epsilon}\text{n}$ のオーダーの逸脱について、スプリット木における頂点深さの正確な尾部挙動は何か？
• RQ3 スプリット木における $n$ 個の玉の深さの分散に対する最初の漸近的表現は何か？
• RQ4 ランダムな頂点数 $N$ と決定的なボール数 $n$ の間の関係は何か？
• RQ5 深さ $L = \lfloor \beta \log_b \ln n \rfloor$ の部分木における深さ関連和の漸近的挙動は何か？

主な発見

• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、深さ $\geq \frac{\text{ln} hinspace n}{\text{μ}} + \text{ln}^{0.5+\epsilon}\text{n}$ または $\leq \frac{\text{ln} hinspace n}{\text{μ}} - \text{ln}^{0.5+\epsilon}\text{n}$ である頂点の期待数は $o(1)$ である。これは、典型的な深さの周囲に強い集中が存在することを示している。
• スプリット木における $n$ 個の玉の深さの分散に対する最初の漸近的表現が導出され、深さのフラクチュエーションの正確な特徴付けが得られた。
• 任意の $\epsilon > 0$ に対して、頂点の深さが区間 $\left[\frac{\text{ln} hinspace n}{\text{μ}} - \text{ln}^{0.5+\epsilon}\text{n}, \frac{\text{ln} hinspace n}{\text{μ}} + \text{ln}^{0.5+\epsilon}\text{n}\right]$ の外にある確率は $n \to \infty$ のとき 0 に収束する。これは強い集中を確認する。
• 本論文は $\Gamma_n = n \sum_{\alpha \in S} \alpha b_{\alpha B} c_\alpha + o(\epsilon n)$ を確立し、深さ領域における期待頂点数の正確な漸近的表現を示唆する。
• 和 $\sum_{i=1}^{b^L} \frac{\Upsilon(T_i)}{\mu^{-2} \ln^2 n_i}$ が $\sum_{i=1}^{b^L} \frac{\alpha n_i}{\mu^{-1} \ln n_i} + \frac{n \zeta}{\mu^{-2} \ln^2 n} + o_p\left(\frac{n}{\ln^2 n}\right)$ に等しいことが示され、深さ加重和に対する精緻な漸近的表現が得られた。
• $n$ 個の玉の深さの分散が漸近的に $\mathcal{O}(\ln n)$ であることが示され、再生理論的手法により一次の項が正確に導出された。