[論文レビュー] Novel convex decomposition of piecewise affine functions

Nils Schlüter, Moritz Schulze Darup|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2021

Advanced Control Systems Optimization参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の連続的区分線形（PWA）関数を、同一の複雑さを持つ2つの凸PWA関数に分解する、新しい最適化に基づく手法を提案する。従来の手法が高複雑性または不均衡な複雑性に悩まされるのとは異なり、本手法はあらゆるケースに適用可能であり、明示的モデル予測制御（MPC）応用における計算オーバーヘッドを顕著に低減する。

ABSTRACT

In this paper, we present a novel approach to decompose a given piecewise affine (PWA) function into two convex PWA functions. Convex decompositions are useful to speed up or distribute evaluations of PWA functions. Different approaches to construct a convex decomposition have already been published. However, either the two resulting convex functions have very high or very different complexities, which is often undesirable, or the decomposition procedure is inapplicable even for simple cases. Our novel methodology significantly reduces these drawbacks in order to extend the applicability of convex decompositions.

研究の動機と目的

• 従来の区分線形（PWA）関数の凸分解手法に見られる、高複雑性または不均衡な複雑性という限界を是正すること。
• 複雑なPWA関数において従来の手法が失敗するか、計算的に非現実的になる状況でも、普遍的に適用可能な手法を開発すること。
• 両方の凸成分が同等の複雑さを持つように保ちつつ、評価の高速化やメモリ使用量の削減といった凸分解の利点を維持すること。
• 明示的モデル予測制御（MPC）における実用的利点を示すこと。ここではPWA関数が一般的に現れ、評価効率が極めて重要となる。

提案手法

• 本手法は、PWA関数 $ f(oldsymbol{x}) $ を $ g(oldsymbol{x}) - h(oldsymbol{x}) $ の形に分解し、$ g $ と $ h $ がともに凸PWA関数であるように定式化する。
• 最適化に基づくアプローチを用いて、$ g $ と $ h $ を構築し、それらの基礎となる分割がサイズのバランスを取るようにする。これにより、凸畳み込みや超平面配置法で見られる高複雑性を回避する。
• 初期の分割 $ igcup_{i=1}^s ilde{oldsymbol{X}}_i $ の構造的精錬に基づき、$ g $ と $ h $ の両方の多面体セグメント数を最小化し、かつ等しくする。
• 従来の手法が失敗する場合—例えば重複する多面体領域や複雑な領域を含む場合—でも、本手法は常に適用可能であるように設計されている。
• 凸PWA関数は最大のアフィン表現を介して効率的に評価可能であるという事実を活用し、並列または分散計算による高速評価を可能にする。
• 提案手法の妥当性は、予測ホライズン $ N $ を変化させた明示的MPCベンチマークを用いて検証され、得られた分割の複雑さが測定・比較された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 両方の凸成分が等しく最小の複雑さを持つような、PWA関数の凸分解を構築することは可能か？
• RQ2 従来の手法が失敗するか、数値的に解けないような状況でも、普遍的に適用可能な分解手法を設計することは可能か？
• RQ3 凸畳み込みや超平面配置法といった既存手法と比較して、提案手法の計算複雑性と評価効率はどのように異なるか？
• RQ4 提案手法は、明示的MPC応用において、評価時間とメモリ使用量をどの程度削減できるか？

主な発見

• 提案手法は、両方の凸成分 $ g $ と $ h $ に対して等しい複雑さを達成しており、$ N = 10 $ の場合、339個の多面体セグメントを有する。これに対して、凸畳み込み法では105,581および106,697個のセグメントを要する。
• $ N = 15 $ の場合、本手法の合計複雑さ（694セグメント）は、凸畳み込み法の803セグメントを下回り、優れた効率性を示している。
• 参考文献[5]の最適化ベース手法は、$ N > 1 $ では実用的ではなく、超平面配置の正則化により、$ N = 15 $ 時に26,786セグメントにまで複雑さが増加する。
• 明示的MPCの事例研究において、評価時間が10倍短縮され、ストレージ容量が16倍削減された。これは、$ g $ と $ h $ の効率的な最大のアフィン評価によるものである。
• 本手法は、従来の手法が失敗するか、極端に不均衡な分解を生じるような複雑なPWA関数に対しても、常に適用可能である。
• 本手法は、最大のアフィン計算による高速評価を可能にし、明示的MPCにおける従来の2分木探索法を上回る性能を発揮する。