[論文レビュー] Novel differential quadrature element method for higher order strain gradient elasticity theory

Md. Ishaquddin, S. Gopalakrishnan|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2018

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 39被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、梁および板の応力勾配弾性理論における6階偏微分方程式を解くために、ラグランジュ補間を用いた新規な微分積分法要素法（DQM）を提案する。領域内では変位を唯一の自由度として扱い、境界における傾きおよび曲率を修正された重み係数を用いて組み込むことで、非古典的境界条件を効率的に処理し、さまざまな境界条件下での勾配弾性梁および板の静的解析において高い精度を示す。

ABSTRACT

In this paper, we propose a novel and efficient differential quadrature element based on Lagrange interpolation to solve a sixth order partial differential equations encountered in non-classical beam theories. These non-classical theories render displacement, slope and curvature as degrees of freedom for an Euler-Bernoulli beam. A generalize scheme is presented herein to implementation the multi-degrees degrees of freedom associated with these non-classical theories in a simplified and efficient way. The proposed element has displacement as the only degree of freedom in the domain, whereas, at the boundaries it has displacement, slope and curvature. Further, we extend this methodology and formulate two novel versions of plate element for gradient elasticity theory. In the first version, Lagrange interpolation is assumed in $x$ and $y$ directions and the second version is based on mixed interpolation, with Lagrange interpolation in $x$ direction and Hermite interpolation in $y$ direction. The procedure to compute the modified weighting coefficients by incorporating the classical and non-classical boundary conditions is explained. The efficiency of the proposed elements is demonstrated through numerical examples on static analysis of gradient elastic beams and plates for different boundary conditions.

研究の動機と目的

• 応力勾配弾性理論に基づく非古典的梁・板理論に生じる6階偏微分方程式を解く課題に対処すること。
• 高次の連続体理論における多自由度系（変位、傾き、曲率）の簡素化および効率的な実装を図ること。
• ラグランジュ補間および混合補間を用いた新規な定式化を導入することで、微分積分法要素法（DQEM）を勾配弾性理論に拡張すること。
• 修正された重み係数を用いた一般化フレームワークを提供し、古典的および非古典的境界条件を一貫して正確に適用すること。
• 様々な荷重および支持条件下での梁および板に対する包括的な数値ベンチマークを通じて、提案手法の精度および効率を検証すること。

提案手法

• ラグランジュ補間を用いた新規な微分積分法梁要素を定式化し、領域内では変位を唯一の自由度とし、境界では変位、傾き、曲率を自由度として扱う。
• 2つの新しい板要素定式化を開発した：一方はxおよびy方向でラグランジュ補間を用いる（SgDQE-LL）、もう一方はx方向にラグランジュ、y方向にエルミート補間を用いる（SgDQE-LH）ことで、C²連続性を確保する。
• 古典的および非古典的境界条件を直接要素定式化に組み込むために、修正された重み係数を計算する一般化手順を導入する。
• 微分積分法技術を活用して、支配的な6階偏微分方程式を離散化し、高精度な数値解を可能にする。
• 数値例では、点荷重を正確にモデル化するためにデルタ関数（Dirac-delta関数）を用いる。
• 均等分布荷重および点荷重下での勾配弾性梁および板の静的解析を通じて、定式化を検証し、解析的解および既存の数値解と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、梁および板の応力勾配弾性理論における6階偏微分方程式を効率的に解く微分積分法要素を定式化できるか？
• RQ2 高次の梁および板モデルにおける複数の自由度（変位、傾き、曲率）を処理するにあたり、最も効果的な補間戦略は何か？
• RQ3 DQEMフレームワークの重み係数計算に、古典的および非古典的境界条件を一貫的かつ正確に組み込むにはどうすればよいか？
• RQ4 提案手法は、さまざまな境界条件およびスケールパラメータ下でも、勾配弾性構造物に対して精度および収束性をどの程度維持できるか？
• RQ5 SgDQE-LLおよびSgDQE-LH定式化は、勾配弾性梁および板の静的解析において、性能および精度の面でどのように比較できるか？

主な発見

• 提案されたSgDQE-LLおよびSgDQE-LH要素は、均等分布荷重下での勾配板に対して解析的解と非常に良好な一致を示し、g/lx = 0.00001におけるたわみおよび曲率の相対誤差は0.1%未満であった。
• 中央点荷重下では、CFCF、SFSF、およびSFCF板において、g/lx = 0.00001で古典的解とよく一致し、より高いスケールパラメータではSgDQE-LLとSgDQE-LHの結果も互いに近接していた。
• 円筒曲げ条件下では、両要素がg/lxの全値範囲で解析的解と1%以内の誤差で一致し、g/lx = 0.5の場合でも同様であった。
• CFFFおよびSSSS条件下では、特にg/lx = 0.5において、SgDQE-LH要素がSgDQE-LL要素よりもわずかに高い精度を示し、高次のモーメントおよびたわみの評価において優位であった。
• 本手法はスケーリング効果を正確に捉えており、g/lxを0.00001から0.5に増加させると、たわみが顕著に減少し、勾配弾性理論の理論的予測と一貫していた。
• 修正された重み係数アプローチにより、追加の自由度を必要とせずに非古典的境界条件を正確に適用でき、計算効率が向上した。