[論文レビュー] Novel Expressions for the Rice $Ie{-}$Function and the Incomplete Lipschitz-Hankel Integrals

Paschalis C. Sofotasios, Steven Freear|arXiv (Cornell University)|May 14, 2015

Advanced Wireless Communication Techniques参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、修正ベッセル関数のリス・$Ie$-関数および不完全リップシッツ・ハンケル積分（ILHI）の新規な閉形式表現と、極めて高い精度を持つ多項式近似を提示する。正確な級数ときびしい閉形式の切り捨て誤差の上限を導出することで、瑞々しいチャネルにおけるデジタル通信の性能解析における効率的かつ高精度な数値計算が可能になる。

ABSTRACT

This paper presents novel analytic expressions for the Rice $Ie{-}$function, $Ie(k,x)$, and the incomplete Lipschitz-Hankel Integrals (ILHIs) of the modified Bessel function of the first kind, $Ie_{m,n}(a,z)$. Firstly, an exact infinite series and an accurate polynomial approximation are derived for the $Ie(k ,x)$ function which are valid for all values of $k$. Secondly, an exact closed-form expression is derived for the $Ie_{m,n}(a,z)$ integrals for the case that $n$ is an odd multiple of $1/2$ and subsequently an infinite series and a tight polynomial approximation which are valid for all values of $m$ and $n$. Analytic upper bounds are also derived for the corresponding truncation errors of the derived series'. Importantly, these bounds are expressed in closed-form and are particularly tight while they straightforwardly indicate that a remarkable accuracy is obtained by truncating each series after a small number of terms. Furthermore, the offered expressions have a convenient algebraic representation which renders them easy to handle both analytically and numerically. As a result, they can be considered as useful mathematical tools that can be efficiently utilized in applications related to the analytical performance evaluation of classical and modern digital communication systems over fading environments, among others.

研究の動機と目的

• 主な科学的ソフトウェアにおけるリス・$Ie$-関数およびILHIの組み込みサポートの欠如により、無線通信分野における解析的・数値的計算が阻害されているという問題に対処すること。
• すべての$k$および$x$に対して有効な、$Ie(k,x)$関数の正確かつ近似解析的表現を導出することにより、計算の取り扱いやすさを向上させること。
• $n$ が奇数の半整数である場合の $Ie_{m,n}(a,z)$ の正確な閉形式表現を導出し、任意の $m$ および $n$ に対して一般級数および多項式近似を構築すること。
• 導出された級数の切り捨て誤差に対するきびしい閉形式の上界を導出し、少ない項数で高い精度を達成することを保証すること。
• 性能評価における解析的便宜と数値的効率性の両方を満たす代数的に取り扱いやすい表現を提供すること。

提案手法

• 修正ベッセル関数およびストルーヴ関数を含む級数展開を用いて、リス・$Ie(k,x)$ 関数の正確な無限級数と多項式近似を導出する。
• 積分変換と級数再編成を用いて、$n = 2k+1/2$、$k \in \mathbb{N}$ の場合の $Ie_{m,n}(a,z)$ に対する正確な閉形式表現を確立する。
• 逐次超幾何関数および不完全ガンマ関数に基づき、すべての実数 $m$ および $n$ に対して有効な一般無限級数と多項式近似を構築する。
• 単調性の性質と床関数の恒等式を用いて、多項式近似の切り捨て誤差に対する閉形式の上界を導出する。
• さまざまなパラメータにおける級数および上限の数値評価を通じて、近似の精度と収束性を検証する。
• 既知の恒等式（$Ie$-関数とマルクム $Q$-関数、ILHIと修正ベッセル関数との関係）を用いて、新しい表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての$k$および$x$に対して、非常に高い精度と計算効率を持つ多項式近似を、リス・$Ie(k,x)$ 関数に対して導出可能か？
• RQ2 $n$ が $1/2$ の奇数倍である場合、不完全リップシッツ・ハンケル積分 $Ie_{m,n}(a,z)$ に対して閉形式の表現が存在するか？
• RQ3 すべての実数 $m$ および $n$ に対して有効な一般級数および多項式近似を、$Ie_{m,n}(a,z)$ に対して構築可能か？
• RQ4 提案された級数近似の切り捨て誤差に対して、きびしい閉形式の上界を導出可能か？ これにより、最小限の項数で高い精度が達成されるか？
• RQ5 実際の通信システムモデル化において、既存の手法と比較して、導出された表現の精度と収束速度はどのように異なるか？

主な発見

• すべての$k$および$x$に対して有効な正確な無限級数と、非常に高い精度を持つ多項式近似が、切り捨て誤差が閉形式で上限付きで与えられる形で導出された。
• $n$ が $1/2$ の奇数倍である場合の $Ie_{m,n}(a,z)$ に対して正確な閉形式表現が導出され、特殊な状況での正確な計算が可能になった。
• 任意の $m$ および $n$ に対して有効な一般無限級数と、きびしい多項式近似が提案され、数値的に収束性が確認された。
• 切り捨て誤差の閉形式上界が導出され、特にきついものであることが示された。これは、わずかな項数で高い精度が達成されることを示している。
• 導出された表現は代数的に取り扱いやすく、デジタル通信システムの性能評価における解析的導出と数値的実装の両方に適している。
• 数値結果により、$Ie_{m,n}(a,z)$ が $n$ に関して単調増加であることが確認され、さまざまなパrameter設定（$m$, $n$, $a$, $z$）において近似の高精度が示された。