[論文レビュー] Novel results on trapped surfaces

José M. M. Senovilla|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、平均曲率ベクトルの因果的性質を用いて、任意のcodimensionを持つ閉じた部分多様体の統一的な幾何的定義を提示し、対称性（例えばキリングベクトル）と捕獲の関係を幾何的に制約する一般則を確立する。静的な時空では、任意のcodimensionについて閉じた捕獲または臨界捕獲部分多様体を含めることができず、導出された1次形式のノルムを用いたcodimension-2表面の捕獲を判定する簡単な基準を提示する。

ABSTRACT

A unifying definition of trapped submanifold for arbitrary codimension by means of its mean curvature vector is presented. Then, the interplay between (generalized) symmetries and trapped submanifolds is studied, proving in particular that (i) stationary spacetimes cannot contain closed trapped nor marginally trapped submanifolds S of any codimension; (ii) S can be within the subset where there is a null Killing vector only if it is marginally trapped with mean curvature vector parallel to the null Killing; (iii) any submanifold orthogonal to a timelike or null Killing vector has a mean curvature vector orthogonal to it. All results are purely geometric, hold in arbitrary dimension, and can be appropriately generalized to many non-Killing vector fields, such as conformal Killing vectors and the like. A simple criterion to ascertain the trapping or not of a family of codimension-2 submanifolds is given. A path allowing to generalize the singularity theorems is conjectured as feasible and discussed.

研究の動機と目的

• 平均曲率ベクトルの因果的性質を用いて、任意のcodimensionに適用可能な統一的で幾何的な捕獲部分多様体の定義を提供すること。
• 一般時空において、特にキリングベクトルを含む対称性と部分多様体の捕獲性質との相互作用を調査すること。
• 時未来的または光的キリングベクトルを持つ時空において、捕獲または臨界捕獲部分多様体の存在に関する一般幾何的制約を導出すること。
• 局所的な幾何的構成を用いて、codimension-2表面の捕獲基準を任意の時空へ一般化すること。
• 捕獲部分多様体の幾何的構造に基づいて、古典的特異性定理の一般化への現実的な道筋を提案すること。

提案手法

• 平均曲率ベクトル $\vec{H} = \gamma^{AB}\vec{K}_{AB}$ の因果的性質を用いて捕獲部分多様体を定義する。ここで $\vec{K}_{AB}$ は外在曲率ベクトルである。
• 恒等式 $\frac{1}{2}\gamma^{AB}(\mathcal{L}_{\vec{\xi}}g)|_S(\vec{e}_A,\vec{e}_B) = \overline{\nabla}_C\overline{\xi}^C + (\vec{\xi} \cdot \vec{H})|_S$ を用いて、キリング対称性と平均曲率ベクトルを関連付ける。
• ガウスの定理を適用して、閉じた部分多様体上で $\vec{\xi} \cdot \vec{H}$ を積分し、$\vec{\xi}$ がキリングベクトルであるとき $\int_S (\vec{\xi} \cdot \vec{H}) \, \boldsymbol{\eta}_S = 0$ であることを示す。
• 平均曲率1形式 $H_\mu = \delta^a_\mu (U_{,a} - \text{div}\,\vec{g}_a)|_{S_{X^a}}$ のノルムを用いて、codimension-2表面の捕獲基準を導出する。ここで $e^U = \sqrt{\det g_{AB}}$ である。
• 部分多様体 $S_{X^a}$ 上で $g^{bc}|_{S_{X^a}} (U_{,b} - \text{div}\,\vec{g}_b)(U_{,c} - \text{div}\,\vec{g}_c)$ を構成し、これにより $\vec{H}$ の因果的性質を特定し、捕獲状態を評価する。
• 例えば、円柱的対称時空を含む具体的な例で基準を検証し、既知の特異性や測地線完全性と整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のcodimensionに適用可能な統一的な幾何的定義を、捕獲部分多様体に対して提示できるか？
• RQ2 静的な時空が任意のcodimensionの閉じた捕獲または臨界捕獲部分多様体を含める条件は何か？
• RQ3 特にキリングベクトルを含む対称性が、部分多様体の捕獲性質にどのように制約を加えるか？
• RQ4 任意の時空において、codimension-2部分多様体の族が捕獲状態にあるかどうかを判定する一般的で計算可能な基準は何か？
• RQ5 捕獲部分多様体の幾何的構造は、古典的特異性定理の一般化にどのように寄与できるか？

主な発見

• 静的な時空では、キリングベクトル $\vec{\xi}$ に対して $\int_S (\vec{\xi} \cdot \vec{H}) \, \boldsymbol{\eta}_S$ の積分が消えるため、任意のcodimensionについて閉じた捕獲または臨界捕獲部分多様体を含めない。
• 部分多様体 $S$ が光的キリングベクトルの領域内にあるのは、それが臨界捕獲であり、かつその平均曲率ベクトルが光的キリングベクトルに平行である場合に限る。
• 時未来的または光的キリングベクトル $\vec{\xi}$ に直交する任意の部分多様体は、その平均曲率ベクトルも $\vec{\xi}$ に直交する。これは外在曲率のトレースから導かれる結果である。
• codimension-2部分多様体に対して、基準 $g^{bc}|_{S_{X^a}} (U_{,b} - \text{div}\,\vec{g}_b)(U_{,c} - \text{div}\,\vec{g}_c)$ が $\vec{H}$ の因果的性質を特定し、捕獲状態を同定する。
• $T(t) = \sinh(at)$ である円柱的対称時空では、特定の $t, \rho$ に対して閉じた捕獲 $\varphi$-サークルが存在し、時空が過去に測地線的に不完全でビッグバン特異性を持つことと整合的である。
• 一方、$T(t) = \cosh(at)$ の場合、すべての $\varphi$-サークルは絶対的に非捕獲であり、測地線完全性と特異性の不在と整合的である。