[論文レビュー] Novel String Field Theory and Bound State, Projective Line, and sharply 3-transitive group

H. B. Nielsen, Masao Ninomiya|ArXiv.org|Nov 4, 2021

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、無限個の成分を有する束縛状態—プロジェクト型直線構造としてモデル化される—が、鋭く3重に推移的（sharply 3-transitive）な群作用を通じて高い対称性を示す、弦場理論における新規フレームワークを提案する。成分が巡回的に順序付けられ、実数体やp進数体上でのモジュラー不変構造と一致するように特定される。このモデルでは、散乱が個々の成分の交換ではなく、成分の集合の交換を通じて発生すると想定され、高次元でも解ける自由理論に類似した振る舞いを示す。

ABSTRACT

Using ideas from our long studied Novel String Field Theory we consider in this article a bound state of infinitely many constituents, something that at least very approximately could mean a hadron, since hadrons have typically very many constituents. Our main point, so far, is to speculate that there should be a very high degree of symmetry between the many consituents, since the constituents behave similarly at different places in the bound state. We assume speculatively that there is a group represented sharply 3-transitively as permutation of the constituents; one can namely only have {\em finite} number of elements sharply n-transitively permuted for n larger than 3. The scattering of such bound states will in the zero Bjorken $x$ limit (which is suggeted) only occur by exchange of parts of the system of constituents, quite like in our Novel String field Theory the "objects" are exchanged in bunches. The cyclically ordered chain of objects in this Novel String Field Theory are identified as a projective line structure. Also a p-adic field is a natural possibility.

研究の動機と目的

• ハドロンに類似した束縛状態を、無限個の成分を有する高対称系として記述する可能性を探る。
• 著者らの先行研究における自由理論的性質にインspiredされ、成分を相互作用のない対象とみなして、まとまりとして交換させるという点で弦場理論を一般化する。
• 成分上での鋭く3重に推移的群作用が、体上のプロジェクト型直線構造を導くかどうかを検討する。
• 初期状態および最終状態の情報をレッジスロープパラメータに埋め込むことで、フレームワークを高次元量子場理論に拡張する。
• p進数構造を、p進数ヴェネツィアーノモデルに由来する自然な代替として、基礎体として採用する。

提案手法

• 成分を巡回的に順序付けられた鎖としてモデル化し、トポロジ的に円に同値である。これは体 $\mathbb{F}$ 上のプロジェクト型直線 $\mathbb{F} \cup \{\infty\}$ と同一視する。
• 成分上に鋭く3重に推移的群作用を仮定し、Zassenhausの分類に従い、それが体上のプロジェクト型直線構造を一意に決定することを示す。
• 実数またはp進数上のモジュラー変換を用い、鎖上の4点の非調和比（交比）を不変に保つ。これにより、対称操作下での不変性が保証される。
• 相関関数 $\langle p_1^\mu p_2^\nu \rangle = g^{\mu\nu} \cdot \text{coef.} \cdot (A,C;B,D)$ を定義し、非調和比 $(A,C;B,D)$ がモジュラー変換で不変であることを確認する。
• 係数 $\text{coef.} \propto 1/\alpha'$ を導入し、レッジスロープ $\alpha'$ を初期状態および最終状態の情報と関連づける。スケール対称性の破れは境界条件によってのみ発生する。
• 方向性依存性を扱うために、モジュラー群を方向性を保つ変換に制限し、巡回的順序条件と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bjorken-$x$ 値がほぼ等しい無限個の成分を有する束縛状態を、鋭く3重に推移的群作用を持つ対称系としてモデル化可能か？
• RQ2 成分上に鋭く3重に推移的対称性を要求すると、体 $\mathbb{F}$ 上のプロジェクト型直線構造が一意に導かれるか？
• RQ3 モジュラー不変性と非調和比を用いて、束縛状態における運動量演算子の整合的な相関関数を定義できるか？
• RQ4 初期状態および最終状態の情報にレッジスロープ $\alpha'$ を埋め込むことで、フレームワークを高次元量子場理論に拡張可能か？
• RQ5 p進数構造は、類似した対称性を持つ一貫した、解ける弦場理論を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 無限個の成分を有する束縛状態は、巡回的に順序付けられた鎖としてモデル化され、トポロジ的に実数直線と無限遠点を加えた $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ としてのプロジェクト型直線を形成する。方向性を保つ変換下でもモジュラー対称性が保たれる。
• 運動量相関関数 $\langle p_1^\mu p_2^\nu \rangle$ は、計量 $g^{\mu\nu}$ に係数と非調和比 $(A,C;B,D)$ を乗じた形に比例する。非調和比はモジュラー変換で不変である。
• 係数 $\text{coef.} \propto 1/\alpha'$ は初期状態および最終状態の情報にのみ依存し、レッジスロープ $\alpha'$ が力学的ではなく境界条件から生じることを示唆する。
• 巡回的順序制約のため、完全なモジュラー群はその方向性を保つ部分群にまで縮小されるが、この部分群はトポロジ的に特徴づけられ、対称性構造と整合的である。
• 個々の成分の散乱を回避し、代わりに部分集合の集団的交換を許容することで、3+1次元を超える高次元でも解ける自由理論に類似した振る舞いを示す。
• p進数版のヴェネツィアーノモデルが自然に組み込まれ、p進数構造を用いることで、高次元における一貫した量子場理論への道筋が示唆される。