[論文レビュー] Nowhere differentiable functions with respect to the position

K. Kavvadias, Konstantinos G. Makridis|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界および非有界な領域 $ \Omega \subset \mathbb{C} $ における有理近似空間 $ R(\Omega) $ 内の関数に対して、一般的な二分法を確立する：$ R(\Omega) $ 内のすべての一般関数が境界 $ \partial\Omega $ 上の任意の点で微分可能でない（差分商がすべての境界点で発散する）か、あるいはそのような関数がまったく存在しないかのいずれかである。主な結果は、このような関数の集合が $ R(\Omega) $ 内で空集合であるか、あるいは $ G_\delta $-稠密であることであり、これはバナッハ空間上のベールのカテゴリー理論とコンformal写像の技法を用いて証明される。

ABSTRACT

Let $Ω$ be a bounded domain in $\mathbb{C}$ such that $\partial Ω$ does not contain isolated points. Let $R(Ω)$ be the space of uniform limits on $\overlineΩ$ of rational functions with poles off $\overlineΩ$, endowed with the supremum norm. We prove that either generically all functions $f$ in $R(Ω)$ satisfy % $$ \limsup_{\substack{z o z_0 z \in \partial Ω}} \Big| \frac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \Big| = + \infty $$ for every $z_0 \in \partial Ω$ or no such function in $R(Ω)$ meets this requirement. In the first case, the generic function $f \in R(Ω)$ is nowhere differentiable on $\partial Ω$ with respect to the position. We give specific examples where each case of the previous dichotomy holds. We also extend the previous result to unbounded domains.

研究の動機と目的

• 関数 $ R(\Omega) $ の一般的性質が境界 $ \partial\Omega $ 上での位置に関する微分可能性に関してどのように振る舞うかを調査すること。
• 差分商 $ \left| \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right| $ が $ z \to z_0 \in \partial\Omega $ のとき発散する条件を特定すること。
• 実数パラメータ化からの nowhere differentiable 関数の結果を、複素数の位置に基づく微分可能性へと拡張すること。
• 二分法を確立すること：このような関数の集合が $ R(\Omega) $ 内で $ G_\delta $-稠密であるか、あるいは空集合であるかのいずれかである。
• 有界および非有界な領域を含む、二分法の各ケースが成立する例を提示すること。

提案手法

• バナッハ空間 $ R(\Omega) $ に上界ノルムを備えた空間上で、一般性を解析するためのベールのカテゴリー定理の応用。
• 一般領域 $ \Omega $ から単位円板 $ D $ へのコンフォーマル写像 $ \phi $ の適用により、解析的構造を保ちつつ問題を移行すること。
• 正則関数およびその導関数の性質を用いて、境界 $ \partial\Omega $ 上の点 $ z_0 $ に近づく列 $ z_n \to z_0 $ を構成し、差分商が発散することを示すこと。
• 集合 $ S(\Omega, J) $ を、すべての $ z_0 \in J $ に対して $ \limsup_{z \to z_0, z \in J} \left| \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \right| = +\infty $ を満たす $ f \in R(\Omega) $ の集合として定義すること。
• コンパクト部分集合上の一致収束を用いた有理関数の極限として定義される $ \widetilde{R}(\Omega) $ を用いて非有界領域への拡張を図り、Fréchet位相を導入すること。
• ジョルダン領域における境界の同相性を保証する Osgood–Carathéodory 定理を用いて、単位円板からより一般な領域への結果の移行を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界の各点 $ z_0 \in \partial\Omega $ で差分商が発散する関数の集合が、$ R(\Omega) $ 内で空でない条件は何か？
• RQ2 そのような関数の集合が $ R(\Omega) $ 内で一般的であるか。もし一般的であるならば、どのような位相的意味でそうなるか？
• RQ3 位置に関する nowhere differentiability の現象を単位円板から任意の領域、非有界領域へと拡張できるか？
• RQ4 境界が完全集合であっても、$ R(\Omega) $ 内にその発散を示す関数が存在しない領域は存在するか？
• RQ5 コンフォーマル写像および解析接続は、境界上での微分可能性の性質にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 境界 $ \partial\Omega $ に孤立点を含まない有界領域 $ \Omega $ に対して、集合 $ S(\Omega, J) $ は空集合であるか、あるいは $ R(\Omega) $ 内で $ G_\delta $-稠密である。これにより、一般的な二分法が確立される。
• 集合 $ S(\Omega, J) $ が空でない場合、$ R(\Omega) $ 内の一般関数 $ f $ は境界 $ \partial\Omega $ 上のすべての点で位置に関して nowhere differentiable である。これは差分商がすべての境界点で発散するためである。
• 例として、$ \Omega = D \setminus [0, \frac{1}{2}] $ の場合、滑らかにスリットを越えて正則拡張可能であるため $ S(\Omega, \partial\Omega) = \emptyset $ となる。これは有限な導関数の極限を示唆する。
• もう一つの例として、$ \Omega = \{ z : \operatorname{Re}(z) > 0 \} \setminus [1, \infty) $ に対しても $ S(\Omega, J) = \emptyset $ が成り立ち、非有界領域に対してもこの現象が成立しないことがあることが示される。
• 境界上で $ \phi' \neq 0 $ であるジョルダン領域 $ \Omega $ に対しては $ S(\Omega, J) \neq \emptyset $ であり、その集合は $ G_\delta $-稠密である。これは、単位円板で知られている結果を拡張するものである。
• 非有界領域に対しても、空間 $ \widetilde{R}(\Omega) $ を用いて同様の二分法が成り立つ。すなわち、$ S(\Omega, J) $ は空集合であるか、$ \widetilde{R}(\Omega) $ 内で $ G_\delta $-稠密である。