[論文レビュー] NP-Completeness of Hamiltonian Cycle Problem on Rooted Directed Path Graphs

B. S. Panda, Dinabandhu Pradhan|ArXiv.org|Sep 15, 2008

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、最大次数3の二部グラフにおけるハミルトン閉路問題の多項式時間還元を用いて、根付き有向パスグラフにおけるハミルトン閉路問題がNP完全であることを証明することで、グラフ理論における未解決問題を解決している。著者らは、与えられた二部グラフから、元のグラフにハミルトン閉路が存在するための必要十分条件として、構築されたグラフにもハミルトン閉路が存在する根付き有向パスグラフを構築している。これにより、根付き有向パスグラフクラスにおけるNP完全性が確立された。

ABSTRACT

The Hamiltonian cycle problem is to decide whether a given graph has a Hamiltonian cycle. Bertossi and Bonuccelli (1986, Information Processing Letters, 23, 195-200) proved that the Hamiltonian Cycle Problem is NP-Complete even for undirected path graphs and left the Hamiltonian cycle problem open for directed path graphs. Narasimhan (1989, Information Processing Letters, 32, 167-170) proved that the Hamiltonian Cycle Problem is NP-Complete even for directed path graphs and left the Hamiltonian cycle problem open for rooted directed path graphs. In this paper we resolve this open problem by proving that the Hamiltonian Cycle Problem is also NP-Complete for rooted directed path graphs.

研究の動機と目的

• 根付き有向パスグラフにおけるハミルトン閉路問題がNP完全であるかどうかという未解決問題を解決すること。
• 無向および有向パスグラフにおける既存のNP完全性結果を、より制限の強い根付き有向パスグラフクラスへ拡張すること。
• 最大次数3の二部グラフにおけるハミルトン閉路問題（NP完全）から、根付き有向パスグラフバージョンへの多項式時間還元を提供すること。
• 2-sep根付き有向パスグラフクラスにおいて多項式時間で解けるにもかかわらず、根付き有向パスグラフに制限した場合でも、問題がNP完全のままであることを確立すること。

提案手法

• 最大次数3の二部グラフBから、構造的な頂点および辺の変換を用いて根付き有向パスグラフGを構築する。
• 頂点のパス構造と次数制約をモデル化するため、最大クリークK_i、K'_j、K''_jを定義する。
• 根がK_1であるRDPクリーク木Tを構築し、Gの各頂点vがTにおける有向パスに対応するようにする。これにより、根付き有向パスグラフのクリーク木定理を満たす。
• Itaiらの研究でNP完全であると示された、最大次数3の二部グラフにおけるハミルトン閉路問題から、根付き有向パスグラフにおけるハミルトン閉路問題への還元を用いる。
• j-ブロック（A_ij、Y_j、Z_jなどを含む系列）を通じて、BとGにおけるハミルトン閉路の間の一対一対応を確立し、閉路構造を保持する。
• 構築が多項式時間で可能であり、Gにおけるハミルトン閉路の存在がBにおけるそれと同値であることを証明することで、NP完全性を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無向および有向パスグラフにおけるハミルトン閉路問題がNP完全であるのと同様に、根付き有向パスグラフにおけるハミルトン閉路問題もNP完全であるか？
• RQ2 最大次数3の二部グラフにおけるハミルトン閉路問題から、根付き有向パスグラフバージョンへの多項式時間還元を構築できるか？
• RQ3 2-sep根付き有向パスグラフクラスにおいて多項式時間アルゴリズムが存在するにもかかわらず、NP完全性の結果は依然として成り立つか？
• RQ4 根付き有向パスグラフの構造を活用して、次数が有界な二部グラフの閉路制約をシミュレートできるか？

主な発見

• 根付き有向パスグラフにおけるハミルトン閉路問題はNP完全である。これは、Narasimhanの研究で未解決のまま残されていた問題を解決した。また、Spinradの研究でも未解決として挙げられていた。
• 最大次数3の二部グラフにおけるNP完全問題から根付き有向パスグラフへの還元は、多項式時間で計算可能であり、ハミルトン閉路の存在を保持する。
• Clique Tree Theoremを用いて、構築されたグラフGが根付き有向パスグラフであることが証明された。各頂点のクリーク集合は、RDPクリーク木における有向パスを形成する。
• 元の二部グラフBにハミルトン閉路が存在するための必要十分条件として、構築された根付き有向パスグラフGに対しても同様にハミルトン閉路が存在する。これはj-ブロック構造と閉路再構築により示された。
• 無向および有向パスグラフに対する既存の還元手法を拡張し、注意深く設計されたクリーク木とパス表現を用いて、根付き構造に適応した。
• この結果により、根付き有向パスグラフクラスはハミルトン閉路問題に対して多項式時間解法を有さないことが示された。これは、2-sepサブクラスとは対照的である。