[論文レビュー] NP-completeness of Partial Chirotope Extendibility

Patrick Baier|ArXiv.org|Apr 21, 2005

graph theory and CDMA systems参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ドナルド・クヌースによる部分的CCシステムの拡張に関するNP完全性の証明を応用することで、部分的に定義されたチロトープを完全なチロトープに拡張する問題のNP完全性を確立している。この問題は、有向グラフをバーテックスフリーなトーナメントに拡張する問題に還元され、これは3SATへの還元によって既にNP完全であることが知られているため、チロトープの拡張可能性もNP完全であることが示された。

ABSTRACT

In the monograph "Axioms and Hulls" (1992) Donald Knuth studies some axiomatizations of geometric situations. The structures described by one of the axiom systems are called CC-systems. Knuth proves that it is NP-complete to decide, whether a partially defined CC-system can be extended to a complete CC-system. The aim of this note is to show that Knuth's proof of this result also implies that it is NP-complete to decide the extendability of partially defined chirotopes.

研究の動機と目的

• クヌースのCCシステムの拡張可能性とチロトープの拡張可能性の関係を明確にすること。
• 部分的チロトープを完全なチロトープに拡張する問題がNP完全であることを確立すること。
• CCシステムの拡張可能性のNP完全性が、チロトープに対しても同様の複雑さを有することを示すこと。
• 与えられた公理の下で、一様チロトープと事前CCシステムとの間の同値性を形式化すること。
• 3SATからバーテックスフリーなトーナメントへの明確な還元経路を、チロトープの拡張可能性へと示すこと。

提案手法

• 3SATを、有向グラフをバーテックスフリーなトーナメントに拡張する問題へ還元すること。
• 特に公理1〜3および5/5’（内部性と推移性）を用いて、事前CCシステムを定義するクヌースの公理を用いること。
• 固定された点tを用いて、p→q であるかぎり、tpq が成り立つという規則により、部分的三重系からトーナメントを構成すること。
• 事前CCシステムが存在するための必要十分条件として、関連するトーナメントがバーテックスフリーであることの証明。
• グラスマン＝プラüカー関係式が、トーナメントにおける禁止部分グラフ（バーテックス）の不在と同値であることを示すこと。
• クヌースによるバーテックスフリーなトーナメントの拡張に関するNP完全性結果を応用し、チロトープの拡張についてもNP完全性が成立することを結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分的に定義されたチロトープを完全なチロトープに拡張する問題は、計算的に困難であるか？
• RQ2 クヌースによるCCシステムの拡張可能性のNP完全性の結果は、チロトープに対しても同様の複雑さを示唆するか？
• RQ3 部分的チロトープの拡張可能性は、有向グラフをバーテックスフリーなトーナメントに拡張する問題に還元可能か？
• RQ4 チロトープから導かれるトーナメントにおけるグラスマン＝プラüカー関係式は、バーテックスフリー性条件と論理的に同値か？
• RQ5 三重の部分関数がチロトープに拡張可能かどうかを決定する問題の計算複雑度は何か？

主な発見

• 部分的チロトープを完全なチロトープに拡張する問題はNP完全である。
• このNP完全性は、クヌースによる部分的CCシステムの拡張に関するNP完全性証明から直接導かれる。
• 部分的CCシステムが完全なCCシステムに拡張可能であるための必要十分条件は、関連するトーナメントがバーテックスフリーであることである。
• グラスマン＝プラüカー関係式と禁止部分グラフの不在の両立により、一様チロトープと事前CCシステムとの同値性が確立される。
• 3SATからバーテックスフリーなトーナメントへの還元は、チロトープの拡張可能性がNP完全であることを示唆する。
• 共通の点を持つ三重の部分関数に制限しても、問題のNP完全性は維持される。